提出正确的问题比回答它更困难。

​ —格奥尔格‧康托尔

逆矩阵

• 线性代数能用来描述对空间的操纵，这对计算机图形学和机器人学很有用。但是线性代数在几乎所有技术领域中都有所体现，并被广泛应用的一个主要原因是，它能帮助我们求解特定的方程组

• 当我说 “方程组” 时，我是在说你有一系列未知量和一系列与之相关的方程

• 大部分情况下，这些方程会显得非常复杂，但如果你幸运的话，它们可能具有一个特定的形式

• 在每一个方程中，所有的未知量只具有常系数，这些未知量之间只进行加和，也就是说没有幂次，没有奇怪的函数，没有未知量间的乘积等等

• 要整理这一特定的方程组，一个典型的方法是，将未知量放在等号左边，剩余的常数项放在等号右边

• 并且将同一个未知量竖直对齐也是极好的，要做到这一点，可能需要在某个未知量不出现时添加0这个系数

• 这就被称为 “线性方程组”

• 这和矩阵向量乘法非常相似。实际上，可以将所有的方程合并为一个向量方程，这个方程有一个包含所有常数系数的矩阵，一个包含所有未知量的向量，以及它们乘积所得到的一个常数向量

• 我们称系数矩阵为A，包含未知量的向量为粗体的x，右侧的常数向量为v。这不仅仅是将方程组写进一行的书写技巧，它还阐明了这个问题中优美的几何直观部分

• 矩阵A代表一种线性变换，所以求解 Ax=v 意味着我们去寻找一个向量x，使得它在变换后与v重合

• 思考一下这一过程，你完全可以只考虑对空间变形，以及变换前后向量的重叠，就将多个未知量相互混合的复杂方程组印入脑中

• 先举一个简单的例子，你有一个由两个方程和两个未知量构成的方程组，意味着A是一个 2x2 的矩阵，v和x都是二维向量

• 现在，这个方程的解依赖于矩阵A所代表的变换，是将空间挤到一条线或一个点等低维空间，还是保持像初始状态一样的完整二维空间，也就是将它们分为两种情况：A的行列式为零和A的行列式不为零

• 先来看看最可能发生的情况，即A的行列式不为零，此时空间并未被挤压为零面积的区域

• 在这种情况下，有且仅有一个向量（在变换后）与v重合，并且可以通过逆向进行变换来找到这个变量，如同倒带一样，通过跟踪v的动向，就能找到满足 Ax=v 的向量x

• 当你逆向进行变换时，它实际上对应了另一个线性变换，通常被称为 “A的逆” ，记为A^(-1)
• 比如说，如果A是逆时针旋转90度的变换，那么A的逆就是顺时针的90度的变换；如果A是向右剪切的变换，将j帽向右移动一个单位，A的逆就是向左剪切的变换，将j帽向左移动一个单位
• 总的来说，A逆是满足以下性质的唯一变换，首先应用A代表的变换，再应用A逆代表的变换，你会回到原始状态

• 两个变换相继作用在代数上体现为矩阵乘法，所以A逆的核心性质在于，A逆乘以A等于一个 “什么都不做” 的矩阵，这个 “什么都不做” 的变换被称为 “恒等变换”

• 它保持i帽和j帽不变，所以它的列就是（1，0）和（0，1）

• 一旦找到了A的逆（实践中可以用计算机完成），就能在两边同乘A逆矩阵来求解向量方程。这个过程在几何上，就对应于逆向进行变换并跟踪v的动向

• 随机选一个矩阵，有很大可能会遇到这一非零行列式的情况，也就是说，对于两个未知量和两个方程构成的方程组，几乎可以确定它存在唯一解
• 只要变换A不将空间压缩到一个更低的维度上，也就是它的行列式不为零，那它就存在逆变换 —A逆，使得应用A变换再应用A逆变换之后，结果与恒等变换无异

• 要想求解方程，只需要将A逆与向量v相乘即可

• 但是当行列式为零时，与这个方程组相关的变换将空间压缩到更低的维度上，此时没有逆变换，你不能将一条线 “解压缩” 为一个平面，至少这不是一个函数能做的，这样就会要求将一个单独的向量变换为一整条线的向量，但是函数只能将一个输入变换为一个输出

• 类似地，对于三个方程和三个未知量，如果变换将三维空间压缩为一个平面，甚至是一条直线或一个点，那么它也没有逆变换。它们都对应行列式为零的情况，因为此时所有区域都被压缩到零体积

• 即便不存在逆变换，解仍然可能存在

• 比如说，一个变换将空间压缩为一条直线，足够幸运的话，向量v恰好处于这条直线上

列空间

• 当变换的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，我们称这个变换的秩为1；如果变换后的向量落在某个二维平面上，我们称这个变换的秩为2

• 所以说 “秩” 代表着变换后空间的维数

• 比如说对于 2x2 的矩阵，它的秩最大为2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间，并且矩阵的行列式不为零；对于 3x3 的矩阵，秩为2意味着空间被压缩了，但是和秩为1的情况相比，压缩并不是那么严重

• 如果一个三维变换的行列式不为零，变换结果仍旧充满整个三维空间，那么它的秩为3

• 不管是一条直线、一个平面还是三维空间等，所有可能的变换的结果的集合，被称为矩阵的 “列空间”

• 矩阵的列告诉你基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果

• 换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间，所以更精确的秩的定义是列空间的维数

• 当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，我们称之为 “满秩”

零空间

• 零向量一定会被包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变

• 对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身

• 但是对一个非满秩的矩阵来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，也就是说会有一系列向量在变换后成为零向量

• 举个例子，如果一个二维线性变换将空间压缩到一条直线上，那么沿某个不同方向直线上的所有向量就被压缩到原点

• 如果一个三维线性变换将空间压缩到一个平面上，同样也会有一整条线上的向量在变换后落在原点

• 如果一个三维线性变换将空间压缩到一条直线上，那么就有一整个平面上的向量在变换后落在原点

• 变换后落在原点的向量的集合，被称为矩阵的 “零空间” 或 “核”

• 变换后一些向量落在零向量上，而 “零空间” 正是这些向量所构成的空间

• 对线性方程组来说，当向量v恰好为0时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解

小结

• 每个方程组都有一个线性变换与之联系

• 当逆变换存在时，你就能用这个逆变换来求解方程组

• 另外，列空间的概念让我们清楚什么时候存在解

• 零空间的概念有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的