图算法系列之无向图的数据结构

2023-01-01 18:23:33

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前言

从本篇开始我们将会一起来学习图相关的算法，图算有很多相当实用算法，比如：垃圾回收器的标记清除算法、地图上求路径的最短距离、拓扑排序等。在开始学习这些算法之前我们需要先来了解下图的基本定义，以及使用哪种数据结构来表示一张图，本篇我们先从无向图开始学习。

图的定义

图：是有一组顶点和一组能够将两个订单相连组成的。连接两个顶点的边没有方向，这种图称之为无向图。

图的术语

通过同一条边相连的两个顶点我们称这两个顶点相邻；

某个顶点的度数即表示连接这个顶点的边的总数；如上图：顶点1的度数是3

一条边连接了一个顶点与其自身，我们称为自环

连接同一对顶点的边称为平行边

术语还有很多，暂时这里只列出本篇我们需要使用到的术语，后面有在使用到其他的术语再做解释，太多也不太容易记得住

如何表示出图

图用什么数据结构来表示主要参考两个要求：

在开发图的相关算法时，图的表示的数据结构是基础，所以这种数据结构效率的高
在实际的过程中图的大小不确定，可能会很大，所以需要预留出足够的空间

考虑了这两个要求之后大佬们提出以下三个方法来供选择：

邻接矩阵
键入有v个顶点的图，我们可以使用v乘以v的矩阵来表示，如果顶点v与w相连，那么把v行w列设置为true，这样就可以表示两个顶点相连，但是这个方式有个问题，如果遇到图很大，会造成空间的浪费。不满足第二点。其次这种方式没办法表示平行边
边的数组
可以定义一个表示的边对象，包含两个int属性表示顶点，但是如果需要找到某个顶点的相连顶点有哪些，我们就需要遍历一遍全部的边。这种数据结构的效率较差
邻接表数组
定义一个数组，数组的大小为顶点的个数，数据下标表示顶点，数组中每个元素都是一个链表对象（LinkedListQueue）,链表中存放的值就是与该顶点相连的顶点。（LinkedListQueue我们已经在之前的文章中实现，可以参考文章《https://juejin.cn/post/6926685994347397127》）

无向图的API定义

public class Graph {
    public Graph(int V); //创建含有v个顶点不含边的图
    
    public int V(); //返回顶点的个数
    
    public int E(); //返回图中边的总数
    
    public void addEdge(int v, int w); //向图中添加一条边 v-W 
        
    public Iterable<Integer> adj(int v); //返回与v相邻的所有顶点
    
    public String toString(); //使用字符串打印出图的关系
}

无向图API的实现

要实现上面定义的API，我们需要三个成员变量，v表示图中顶点的个数，e表示图总共边的数据，LinkedListQueue的数组用来存储顶点v的相邻节点；

构造函数会初始化空的邻接表数组

因为是无向图，所以addEdge方法在向图中添加边既要添加一条v->w的边，有需要添加一条w->v的边

public class Graph {
    private final int v;
    private int e;
    private LinkedListQueue<Integer>[] adj;

    public Graph(int v) {
        this.v = v;
        this.adj = (LinkedListQueue<Integer>[]) new LinkedListQueue[v];
        for (int i = 0; i < v; i++) {
            this.adj[i] = new LinkedListQueue<>();
        }
    }

    public int V() {
        return v;
    }

    public int E() {
        return e;
    }

    public void addEdge(int v, int w) {
        this.adj[v].enqueue(w);
        this.adj[w].enqueue(v);
        this.e++;
    }

    public Iterable<Integer> adj(int v) {
        return this.adj[v];
    }

    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.append(v).append(" 个顶点，").append(e).append(" 条边\n");
        for (int i = 0; i < v; i++) {
            sb.append(i).append(": ");
            for (int j : this.adj[i]) {
                sb.append(j).append(" ");
            }
            sb.append("\n");
        }
        return sb.toString();
    }
}

图的常用工具方法

基于图数据结构的实现，我们可以提供一些工具方法

计算顶点v的度数
顶点的度数就等于与之相连接顶点的个数

public static int degree(Graph graph, int v) {
    int degree = 0;
    for (int w : graph.adj(v)) {
        degree++;
    }
    return degree;
}

计算所有顶点的最大度数

public static int maxDegree(Graph graph) {
    int maxDegree = 0;
    for (int v = 0; v < graph.V(); v++) {
        int degree = degree(graph, v);
        if (maxDegree < degree) {
            maxDegree = degree;
        }
    }
    return maxDegree;
}

计算所有顶点的平均度数
每条边都有两个顶点，所以图所有顶点的总度数是边的2倍

public static double avgDegree(Graph graph) {
    return 2.0 * graph.E() / graph.V();
}

计算图中的自环个数
对于顶点v，如果v同时也出现了在v的邻接表中，那么表示v存在一个自环；由于是无向图，每条边都被记录了两次（如果不好理解可以把图的toString打印出来就可以理解了）

public static int numberOfSelfLoops(Graph graph) {
    int count = 0;
    for (int v = 0; v < graph.V(); v++) {
        for (int w : graph.adj(v)) {
            if (v == w) {
                count++;
            }
        }
    }
    return count / 2;
}

总结

本篇我们主要学习使用何种数据结构来表示一张图，以及基于这种数据结构实现了几个简单的工具方法，在下一篇我们将来学习图的第一个搜索算法 - 深度优先搜索

文中所有源码已放入到了github仓库:
https://github.com/silently9527/JavaCore

最后（点关注，不迷路）

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