神经网络的计算过程
神经网络结构如下图所示，最左边的是输入层，最右边的是输出层，中间是多个隐含层，隐含层和输出层的每个神经节点，都是由上一层节点乘以其权重累加得到，标上“+1”的圆圈为截距项b，对输入层外每个节点：Y=w0*x0+w1*x1+…+wn*xn+b，由此我们可以知道神经网络相当于一个多层逻辑回归的结构。
（图片来自UFLDL Tutorial）
算法计算过程：输入层开始，从左往右计算，逐层往前直到输出层产生结果。如果结果值和目标值有差距，再从右往左算，逐层向后计算每个节点的误差，并且调整每个节点的所有权重，反向到达输入层后，又重新向前计算，重复迭代以上步骤，直到所有权重参数收敛到一个合理值。由于计算机程序求解方程参数和数学求法不一样，一般是先随机选取参数，然后不断调整参数减少误差直到逼近正确值，所以大部分的机器学习都是在不断迭代训练，下面我们从程序上详细看看该过程实现就清楚了。
神经网络的算法程序实现
神经网络的算法程序实现分为初始化、向前计算结果，反向修改权重三个过程。
1. 初始化过程
由于是n层神经网络，我们用二维数组layer记录节点值，第一维为层数，第二维为该层节点位置，数组的值为节点值；同样，节点误差值layerErr也是相似方式记录。用三维数组layer_weight记录各节点权重，第一维为层数，第二维为该层节点位置，第三维为下层节点位置，数组的值为某节点到达下层某节点的权重值，初始值为0-1之间的随机数。为了优化收敛速度，这里采用动量法权值调整，需要记录上一次权值调整量，用三维数组layer_weight_delta来记录，截距项处理：程序里将截距的值设置为1，这样只需要计算它的权重就可以了，
2. 向前计算结果
采用S函数1/(1+Math.exp(-z))将每个节点的值统一到0-1之间，再逐层向前计算直到输出层，对于输出层，实际上是不需要再用S函数的，我们这里将输出结果视为0到1之间的概率值，所以也采用了S函数，这样也有利于程序实现的统一性。
3. 反向修改权重
神经网络如何计算误差，一般采用平方型误差函数E，如下：
也就是将多个输出项和对应目标值的误差的平方累加起来，再除以2。实际上逻辑回归的误差函数也是这个，至于为什么要用这个函数来计算误差，它从数学上的合理性是什么，怎么得来的，这个我建议程序员们不想当数学家的话，先不去深究了，现在我们要做的是如何把这个函数E误差取它的最小值，需要对其进行求导，如果有些求导数学基础的话，倒可以尝试去推导下如何从函数E对权重求导得到下面这个公式的：
不会推导也没有关系，我们只需要运用结果公式就可以了，在我们的程序里用layerErr记录了E对权重求导后的最小化误差，再根据最小化误差去调整权重。
注意这里采用动量法调整，将上一次调整的经验考虑进来，避免陷入局部最小值，下面的k代表迭代次数，mobp为动量项，rate为学习步长：
Δw(k+1) = mobp*Δw(k)+rate*Err*Layer
也有很多使用下面的公式，效果上的差别不是太大：
Δw(k+1) = mobp*Δw(k)+(1-mobp)rate*Err*Layer
为了提升性能，注意程序实现是在一个while里面同时计算误差和调整权重，先将位置定位到倒数第二层（也就是最后一层隐含层）上，然后逐层反向调整，根据L+1层算好的误差来调整L层的权重，同时计算好L层的误差，用于下一次循环到L-1层时计算权重，以此循环下去直到倒数第一层（输入层）结束。
小结
在整个计算过程中，节点的值是每次计算都在变化的，不需要保存，而权重参数和误差参数是需要保存的，需要为下一次迭代提供支持，因此，如果我们构思一个分布式的多机并行计算方案，就能理解其他框架中为什么会有一个Parameter Server的概念。
多层神经网络完整程序实现
下面的实现程序BpDeep.Java可以直接拿去使用，也很容易修改为C、C#、Python等其他任何语言实现，因为都是使用的基本语句，没有用到其他Java库（除了Random函数）。以下为原创程序，转载引用时请注明作者和出处。
import java.util.Random;
public class BpDeep{
public double[][] layer;//神经网络各层节点
public double[][] layerErr;//神经网络各节点误差
public double[][][] layer_weight;//各层节点权重
public double[][][] layer_weight_delta;//各层节点权重动量
public double mobp;//动量系数
public double rate;//学习系数
public BpDeep(int[] layernum, double rate, double mobp){
this.mobp = mobp;
this.rate = rate;
layer = new double[layernum.length][];
layerErr = new double[layernum.length][];
layer_weight = new double[layernum.length][][];
layer_weight_delta = new double[layernum.length][][];
Random random = new Random();
for(int l=0;l<layernum.length;l++){
layer[l]=new double[layernum[l]];
layerErr[l]=new double[layernum[l]];
if(l+1<layernum.length){
layer_weight[l]=new double[layernum[l]+1][layernum[l+1]];
layer_weight_delta[l]=new double[layernum[l]+1][layernum[l+1]];
for(int j=0;j<layernum[l]+1;j++)
for(int i=0;i<layernum[l+1];i++)
layer_weight[l][j][i]=random.nextDouble();//随机初始化权重
}
}
}
//逐层向前计算输出
public double[] computeOut(double[] in){
for(int l=1;l<layer.length;l++){
for(int j=0;j<layer[l].length;j++){
double z=layer_weight[l-1][layer[l-1].length][j];
for(int i=0;i<layer[l-1].length;i++){
layer[l-1][i]=l==1?in[i]:layer[l-1][i];
z+=layer_weight[l-1][i][j]*layer[l-1][i];
}
layer[l][j]=1/(1+Math.exp(-z));
}
}
return layer[layer.length-1];
}
//逐层反向计算误差并修改权重
public void updateWeight(double[] tar){
int l=layer.length-1;
for(int j=0;j<layerErr[l].length;j++)
layerErr[l][j]=layer[l][j]*(1-layer[l][j])*(tar[j]-layer[l][j]);
while(l-->0){
for(int j=0;j<layerErr[l].length;j++){
double z = 0.0;
for(int i=0;i<layerErr[l+1].length;i++){
z=z+l>0?layerErr[l+1][i]*layer_weight[l][j][i]:0;
layer_weight_delta[l][j][i]= mobp*layer_weight_delta[l][j][i]+rate*layerErr[l+1][i]*layer[l][j];//隐含层动量调整
layer_weight[l][j][i]+=layer_weight_delta[l][j][i];//隐含层权重调整
if(j==layerErr[l].length-1){
layer_weight_delta[l][j+1][i]= mobp*layer_weight_delta[l][j+1][i]+rate*layerErr[l+1][i];//截距动量调整
layer_weight[l][j+1][i]+=layer_weight_delta[l][j+1][i];//截距权重调整
}
}
layerErr[l][j]=z*layer[l][j]*(1-layer[l][j]);//记录误差
}
}
}
public void train(double[] in, double[] tar){
double[] out = computeOut(in);
updateWeight(tar);
}
}一个运用神经网络的例子
最后我们找个简单例子来看看神经网络神奇的效果。为了方便观察数据分布，我们选用一个二维坐标的数据，下面共有4个数据，方块代表数据的类型为1，三角代表数据的类型为0，可以看到属于方块类型的数据有（1，2）和（2，1），属于三角类型的数据有（1，1），（2，2），现在问题是需要在平面上将4个数据分成1和0两类，并以此来预测新的数据的类型。
我们可以运用逻辑回归算法来解决上面的分类问题，但是逻辑回归得到一个线性的直线做为分界线，可以看到上面的红线无论怎么摆放，总是有一个样本被错误地划分到不同类型中，所以对于上面的数据，仅仅一条直线不能很正确地划分他们的分类，如果我们运用神经网络算法，可以得到下图的分类效果，相当于多条直线求并集来划分空间，这样准确性更高。
下面是这个测试程序BpDeepTest.java的源码：
import java.util.Arrays;
public class BpDeepTest{
public static void main(String[] args){
//初始化神经网络的基本配置
//第一个参数是一个整型数组，表示神经网络的层数和每层节点数，比如{3,10,10,10,10,2}表示输入层是3个节点，输出层是2个节点，中间有4层隐含层，每层10个节点
//第二个参数是学习步长，第三个参数是动量系数
BpDeep bp = new BpDeep(new int[]{2,10,2}, 0.15, 0.8);
//设置样本数据，对应上面的4个二维坐标数据
double[][] data = new double[][]{{1,2},{2,2},{1,1},{2,1}};
//设置目标数据，对应4个坐标数据的分类
double[][] target = new double[][]{{1,0},{0,1},{0,1},{1,0}};
//迭代训练5000次
for(int n=0;n<5000;n++)
for(int i=0;i<data.length;i++)
bp.train(data[i], target[i]);
//根据训练结果来检验样本数据
for(int j=0;j<data.length;j++){
double[] result = bp.computeOut(data[j]);
System.out.println(Arrays.toString(data[j])+":"+Arrays.toString(result));
}
//根据训练结果来预测一条新数据的分类
double[] x = new double[]{3,1};
double[] result = bp.computeOut(x);
System.out.println(Arrays.toString(x)+":"+Arrays.toString(result));
}
}小结
以上测试程序显示神经网络有很神奇的分类效果，实际上神经网络有一定优势，但也不是接近人脑的万能算法，很多时候它可能会让我们失望，还需要结合各种场景的数据大量运用去观察其效果。我们可以把1层隐含层改成n层，并调整每层节点数、迭代次数、学习步长和动量系数，以获得一个最优化的结果。但是很多时候n层隐含层的效果并不比1层有明显提升，反而计算更复杂耗时，我们对神经网络的认识还需要多实践多体会。