在Python中使用逆变换方法生成随机变量

目标

在仿真理论中,生成随机变量是最重要的“构建块”之一,而这些随机变量大多是由均匀分布的随机变量生成的。其中一种可以用来产生随机变量的方法是逆变换法。在本文中,我将向您展示如何使用Python中的逆变换方法生成随机变量(包括离散和连续的情况)。

概念

给定随机变量U,其中U在(0,1)中均匀分布。 假设我们要生成随机变量X,其中累积分布函数(CDF)为

在Python中使用逆变换方法生成随机变量

逆变换方法的思想是通过如下使用其逆CDF从任何概率分布中生成一个随机数。

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对于离散随机变量,步骤略有不同。假设我们想生成一个离散随机变量X的值,它具有一个概率质量函数(PMF)

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为了生成X的值,需要生成一个随机变量U,U在(0,1)中均匀分布,并且定义

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通过以上步骤,我们可以按如下方法创建逆变换方法的算法。

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连续随机数代码实现

首先,我们实现此方法以生成连续随机变量。 假设我们要模拟一个随机变量X,该变量遵循均值λ(即X〜EXP(λ))的指数分布。 我们知道指数分布的概率分布函数(PDF)是

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CDF如下

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然后,我们可以使用以下的方法写出逆CDF

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在Python中,我们可以通过如下编写这些代码行来简单地实现它。

### Generate exponential distributed random variables given the mean 
### and number of random variables
def exponential_inverse_trans(n=1,mean=1):
    U=uniform.rvs(size=n)
    X=-mean*np.log(1-U)
    actual=expon.rvs(size=n,scale=mean)
    
    plt.figure(figsize=(12,9))
    plt.hist(X, bins=50, alpha=0.5, label="Generated r.v.")
    plt.hist(actual, bins=50, alpha=0.5, label="Actual r.v.")
    plt.title("Generated vs Actual %i Exponential Random Variables" %n)
    plt.legend()
    plt.show()
    return X

我们可以通过运行以下示例来尝试上面的代码。 请注意,由于我们要生成随机变量,因此结果可能会有所不同。

cont_example1=exponential_inverse_trans(n=100,mean=4)
cont_example2=exponential_inverse_trans(n=500,mean=4)
cont_example3=exponential_inverse_trans(n=1000,mean=4)

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看起来很有趣。 如果将其与实际变量进行比较,我们可以看到生成的随机变量具有非常相似的结果。 可以调整均值(请注意,我为expon.rvs()函数定义的均值是指数分布中的比例参数)和/或 生成的随机变量的数量,以查看不同的结果。

离散随机数实现代码

对于离散随机变量情况,假设我们要模拟遵循以下分布的离散随机变量情况X

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首先,我们编写函数以使用这些代码行为一个样本生成离散随机变量。

### Generate arbitary discrete distributed random variables given 
### the probability vector
def discrete_inverse_trans(prob_vec):
    U=uniform.rvs(size=1)
    if U<=prob_vec[0]:
        return 1
    else:
        for i in range(1,len(prob_vec)+1):
            if sum(prob_vec[0:i])<U and sum(prob_vec[0:i+1])>U:
                return i+1

然后,我们创建一个函数以使用这些代码行生成许多随机变量样本。

def discrete_samples(prob_vec,n=1):
    sample=[]
    for i in range(0,n):
        sample.append(discrete_inverse_trans(prob_vec))
    return np.array(sample)

最后,我们创建一个函数来模拟结果,并通过这些代码行将其与实际结果进行比较。

def discrete_simulate(prob_vec,numbers,n=1):
    sample_disc=discrete_samples(prob_vec,n)
    unique, counts=np.unique(sample_disc,return_counts=True)
    
    fig=plt.figure()
    ax=fig.add_axes([0,0,1,1])
    prob=counts/n
    ax.bar(numbers,prob)
    ax.set_title("Simulation of Generating %i Discrete Random Variables" %n)
    plt.show()
    
    data={'X':unique,'Number of samples':counts,'Empirical Probability':prob,'Actual Probability':prob_vec}
    df=pd.DataFrame(data=data)
    return df

我们可以在下面运行一些示例以查看结果。 同样,请注意,由于我们要生成随机变量,因此结果可能会有所不同。

prob_vec=np.array([0.1,0.3,0.5,0.05,0.05])
numbers=np.array([1,2,3,4,5])

dis_example1=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=100)
dis_example2=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=500)
dis_example3=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=1000)

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In[11]: dis_example1
Out[11]: 
   X  Number of samples  Empirical Probability  Actual Probability
0  1                  8                   0.08                0.10
1  2                 35                   0.35                0.30
2  3                 50                   0.50                0.50
3  4                  5                   0.05                0.05
4  5                  2                   0.02                0.05In[12]: dis_example2
Out[12]: 
   X  Number of samples  Empirical Probability  Actual Probability
0  1                 53                  0.106                0.10
1  2                159                  0.318                0.30
2  3                234                  0.468                0.50
3  4                 30                  0.060                0.05
4  5                 24                  0.048                0.05In[13]: dis_example3
Out[13]: 
   X  Number of samples  Empirical Probability  Actual Probability
0  1                108                  0.108                0.10
1  2                290                  0.290                0.30
2  3                491                  0.491                0.50
3  4                 51                  0.051                0.05
4  5                 60                  0.060                0.05

结果很有趣! 我们可以看到,随着我们增加随机变量样本的数量,经验概率越来越接近实际概率。 尝试使用不同数量的样本和/或不同的分布进行实验,以查看不同的结果。

总结

这种逆变换方法是统计中非常重要的工具,尤其是在仿真理论中,在给定随机变量均匀分布在(0,1)中的情况下,我们想生成随机变量。 研究案例本身非常广泛,您可以使用在生成经验累积分布函数,预测分析中使用到的这种方法。

作者:Raden Aurelius Andhika Viadinugroho

deephub翻译组

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