1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析(三种方法)

题目

limx01+x+1x2x2=\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=limx→0​x21+x​+1−x​−2​=

解法一

使用四则运算将原式化简,之后使用等价无穷小替换求出结果。

limx01+x+1x2x2=limx0(1+x+1x2)(1+x+1x+2)x2(1+x+1x+2)=limx0(1+x+1x)24x2(1+x+1x+2)=limx01+x+1x+21+x1x4x2(1+x+1x+2)=limx021+x1x2x2(1+x+1x+2)\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}} =\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)} =\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)} =\lim_{x\to0}\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)} =\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}limx→0​x21+x​+1−x​−2​=limx→0​x2(1+x​+1−x​+2)(1+x​+1−x​−2)(1+x​+1−x​+2)​=limx→0​x2(1+x​+1−x​+2)(1+x​+1−x​)2−4​=limx→0​x2(1+x​+1−x​+2)1+x+1−x+21+x​1−x​−4​=limx→0​x2(1+x​+1−x​+2)21+x​1−x​−2​

由于当 x0x\rightarrow0x→0 时,(1+x+1x)2(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\rightarrow2(1+x​+1−x​)→2, 因此有:
limx021+x1x24x2=limx02(1x21)4x2=limx01x212x2\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}limx→0​4x221+x​1−x​−2​=limx→0​4x22(1−x2​−1)​=limx→0​2x21−x2​−1​

根据等价无穷小的如下替换原则:
(1+x)μ1μx(1+x)^{\mu }-1\backsim\mu x(1+x)μ−1∽μx
(更多可以参考高等数学中常用的等价无穷小)
可知:
1x2112x2\sqrt{1-x^{2}}-1\backsim-\frac{1}{2}x^{2}1−x2​−1∽−21​x2, 因此有:

limx012x22x2=14lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}=-\frac{1}{4}limx→0​2x2−21​x2​=−41​

解法二

观察题目中的式子可以发现,当 x0x\rightarrow0x→0 时,满足以下条件:

(1) 1+x+1x20\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2\rightarrow01+x​+1−x​−2→0
(2) x20x^{2}\rightarrow0x2→0 且 x20x^{2}\neq0x2̸​=0
(3) y=1+x+1x2y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2y=1+x​+1−x​−2 和 y=x2y=x^{2}y=x2 在 000 附近两者都可导(在 000 附近,导数存在且连续,故可导)。

综上可知,此处可以使用 00\frac{0}{0}00​ 型的洛必达法则,即可以对分子和分母分别求导后再求极限来确定未定式的值。

求导过程如下:

原式 =limx0121+x121x2x=limx011+x11x4x=limx01x1+x4x(1+x×1x)=limx01x1+x4x1x2=lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x} = lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{4x} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x(\sqrt{1+x} \times \sqrt{1-x})} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{4x \sqrt{1-x^{2}}}=limx→0​2x21+x​1​−21−x​1​​=limx→0​4x1+x​1​−1−x​1​​=limx→0​4x(1+x​×1−x​)1−x​−1+x​​=limx→0​4x1−x2​1−x​−1+x​​

因为,当 x0x \rightarrow0x→0 时,1x21\sqrt{1-x^{2}} \rightarrow 11−x2​→1, 所以有:

limx01x1+x4xlim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}limx→0​4x1−x​−1+x​​

上面的计算过程依次是“求导 / 化简 / 化简 / 化简 / 化简”。下面开始正式使用 00\frac{0}{0}00​ 型的洛必达法则进行计算:

00limx0=121x121+x4\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}lim_{x \to 0} = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}→00​limx→0​=−421−x​1​−21+x​1​​

经过上面的求导,我们发现,当 x0x \rightarrow 0x→0 时,121x12-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \rightarrow -\frac{1}{2}−21−x​1​→−21​, 121+x0-\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \rightarrow 0−21+x​1​→0, 因此有:

原式 =12124=(12+12)4=14=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{4} = \frac{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}{4} = -\frac{1}{4}=4−21​−21​​=4−(21​+21​)​=−41​

在使用洛必达法则解决该问题的时候,进行了两次求导。其实,只要满足以下三个条件,则在使用洛必达法则的过程中可以进行任意次求导,但需要注意的是,每一次求导之前必须确保式子仍然满足如下三个条件,否则不能使用洛必达法则:

设:y=f(x)g(x)y=\frac{f(x)}{g(x)}y=g(x)f(x)​, 则需满足:

(01) xx0x \rightarrow x_{0}x→x0​ 或 xx \rightarrow \inftyx→∞ 时,f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 均趋于 000 或者趋于 \infty∞;
(02) f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 在 x0x_{0}x0​ 的去心邻域可导且 g(x)0{g}'(x) \neq 0g′(x)̸​=0;
(03) f(x)g(x)\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}g′(x)f′(x)​ 的极限存在或者为无穷大。

总结来说,洛必达法则的使用方法如下:

limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}limx→x0​​g(x)f(x)​=limx→x0​​g′(x)f′(x)​

解法三

观察题目中的式子我们发现,可以使用麦克劳林展开式的 (1+x)m(1+x)^{m}(1+x)m 的形式和皮亚诺余项对该题目进行计算,公式如下:

(1+x)m=1+mx+m(m1)2!x2+o(x2)(1+x)^{m} = 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})(1+x)m=1+mx+2!m(m−1)​x2+o(x2)

代入公式可得:

1+x=(1+x)12=1+12x+12×(121)2!x2+o(x2)=1+12x18x2+o(x2)\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})1+x​=(1+x)21​=1+21​x+2!21​×(21​−1)​x2+o(x2)=1+21​x−81​x2+o(x2)

1x=(1x)12=112x+12×(121)2!x2+o(x2)=112x18x2+o(x2)\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})1−x​=(1−x)21​=1−21​x+2!21​×(21​−1)​x2+o(x2)=1−21​x−81​x2+o(x2)

于是有:

原式=limx01+12x18x2+112x18x2+o(x2)2x2=limx014x2+o(x2)x2=limx014+0(x2)x2=14=lim_{x \to 0}\frac{1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})-2}{x^{2}}=lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}}=lim_{x\to0}-\frac{1}{4}+\frac{0(x^{2})}{x^{2}}=-\frac{1}{4}=limx→0​x21+21​x−81​x2+1−21​x−81​x2+o(x2)−2​=limx→0​x2−41​x2+o(x2)​=limx→0​−41​+x20(x2)​=−41​

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