Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型

前言

本系列教程基本就是摘抄《Python机器学习基础教程》中的例子内容。

为了便于跟踪和学习,本系列教程在Github上提供了jupyter notebook 版本:

Github仓库:https://github.com/Holy-Shine/Introduciton-2-ML-with-Python-notebook

系列教程总目录

Python机器学习基础教程

引子

先导入必要的包

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import mglearn %matplotlib inline

线性模型是在实践中广泛使用的一类模型,几十年来被广泛研究,它可以追溯到一百多年前。线性模型利用输入特征的线性函数(linear function)进行预测,稍后会对此进行解释。

1. 用于回归的线性模型

对于回归问题,线性模型预测的一般公式如下:

\[ŷ = w[0] * x[0] + w[1] * x[1] + … + w[p] * x[p] + b
\]

这里 \(x[0]\) 到 \(x[p]\) 表示单个数据点的特征(本例中特征个数为 \(p+1\)),\(w\) 和 \(b\) 是学习模型的

参数,\(ŷ\) 是模型的预测结果。对于单一特征的数据集,公式如下:

\[ŷ = w[0] * x[0] + b
\]

你可能还记得,这就是高中数学里的直线方程。这里 \(w[0]\) 是斜率,\(b\) 是 \(y\) 轴偏移。对于有

更多特征的数据集,\(w\) 包含沿每个特征坐标轴的斜率。或者,你也可以将预测的响应值看

作输入特征的加权求和,权重由 \(w\) 的元素给出(可以取负值)。

下列代码可以在一维 wave 数据集上学习参数 \(w[0]\) 和 \(b\):

mglearn.plots.plot_linear_regression_wave()

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-11:线性模型对 wave 数据集的预测结果

我们在图中添加了坐标网格,便于理解直线的含义。从 w[0] 可以看出,斜率应该在 0.4 左右,在图像中也可以直观地确认这一点。截距是指预测直线与 y 轴的交点:比 0 略小,也可以在图像中确认。

用于回归的线性模型可以表示为这样的回归模型:对单一特征的预测结果是一条直线,两个特征时是一个平面,或者在更高维度(即更多特征)时是一个超平面。

如果将直线的预测结果与上一章图 2-10 中 KNeighborsRegressor 的预测结果进行比较,你会发现直线的预测能力非常受限。似乎数据的所有细节都丢失了。从某种意义上来说,这种说法是正确的。假设目标 y 是特征的线性组合,这是一个非常强的(也有点不现实的)假设。但观察一维数据得出的观点有些片面。对于有多个特征的数据集而言,线性模型可以非常强大。特别地,如果特征数量大于训练数据点的数量,任何目标 y 都可以(在训练集上)用线性函数完美拟合。

有许多不同的线性回归模型。这些模型之间的区别在于如何从训练数据中学习参数 w 和 b,以及如何控制模型复杂度。下面介绍最常见的线性回归模型。

2. 线性回归(又名普通最小二乘法)

线性回归,或者普通最小二乘法(ordinary least squares,OLS),是回归问题最简单也最经典的线性方法。线性回归寻找参数 w 和 b,使得对训练集的预测值与真实的回归目标值 y 之间的均方误差最小。均方误差(mean squared error)是预测值与真实值之差的平方和除以样本数。线性回归没有参数,这是一个优点,但也因此无法控制模型的复杂度。

下列代码可以生成图 2-11 中的模型:

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split X, y = mglearn.datasets.make_wave(n_samples=60)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=42) lr = LinearRegression().fit(X_train, y_train)

“斜率”参数(w,也叫作权重或系数)被保存在 coef_ 属性中,而偏移或截距(b)被保存在 intercept_ 属性中:

print("lr.coef_: {}".format(lr.coef_))
print("lr.intercept_: {}".format(lr.intercept_))

[out]

lr.coef_: [0.39390555]

lr.intercept_: -0.031804343026759746

你可能注意到了 coef_ 和 intercept_ 结尾处奇怪的下划线。scikit-learn 总是将从训练数据中得出的值保存在以下划线结尾的属性中。这是为了将其与用户设置的参数区分开。

intercept_ 属性是一个浮点数,而 coef_ 属性是一个 NumPy 数组,每个元素对应一个输入特征。由于 wave 数据集中只有一个输入特征,所以 lr.coef_ 中只有一个元素。我们来看一下训练集和测试集的性能:

print("Training set score: {:.2f}".format(lr.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(lr.score(X_test, y_test)))

[out]

Training set score: 0.67

Test set score: 0.66

\(R^2\) 约为 0.66,这个结果不是很好,但我们可以看到,训练集和测试集上的分数非常接近。这说明可能存在欠拟合,而不是过拟合。对于这个一维数据集来说,过拟合的风险很小,因为模型非常简单(或受限)。然而,对于更高维的数据集(即有大量特征的数据集),线性模型将变得更加强大,过拟合的可能性也会变大。我们来看一下 LinearRegression 在更复杂的数据集上的表现,比如波士顿房价数据集。记住,这个数据集有 506 个样本和 105个导出特征。首先,加载数据集并将其分为训练集和测试集。然后像前面一样构建线性回归模型:

X, y= mglearn.datasets.load_extended_boston()

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X,y, random_state=0)
lr=LinearRegression().fit(X_train, y_train)

比较一下训练集和测试集的分数就可以发现,我们在训练集上的预测非常准确,但测试集上的 \(R^2\) 要低很多:

print("Training set score: {:.2f}".format(lr.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(lr.score(X_test, y_test)))

[out]

Training set score: 0.95

Test set score: 0.61

训练集和测试集之间的性能差异是过拟合的明显标志,因此我们应该试图找到一个可以控制复杂度的模型。标准线性回归最常用的替代方法之一就是岭回归(ridge regression),下面来看一下。

3. 岭回归

岭回归也是一种用于回归的线性模型,因此它的预测公式与普通最小二乘法相同。但在岭回归中,对系数(w)的选择不仅要在训练数据上得到好的预测结果,而且还要拟合附加约束。我们还希望系数尽量小。换句话说,w 的所有元素都应接近于 0。直观上来看,这意味着每个特征对输出的影响应尽可能小(即斜率很小),同时仍给出很好的预测结果。这种约束是所谓正则化(regularization)的一个例子。正则化是指对模型做显式约束,以避免过拟合。岭回归用到的这种被称为 L2 正则化。

岭回归在 linear_model.Ridge 中实现。来看一下它对扩展的波士顿房价数据集的效果如何

from sklearn.linear_model import Ridge

ridge = Ridge().fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.2f}".format(ridge.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(ridge.score(X_test, y_test)))

[out] :

Training set score: 0.89

Test set score: 0.75

可以看出, Ridge 在训练集上的分数要低于 LinearRegression ,但在测试集上的分数更高。这和我们的预期一致。线性回归对数据存在过拟合。 Ridge 是一种约束更强的模型,所以更不容易过拟合。复杂度更小的模型意味着在训练集上的性能更差,但泛化性能更好。由于我们只对泛化性能感兴趣,所以应该选择 Ridge 模型而不是 LinearRegression 模型。

Ridge 模型在模型的简单性(系数都接近于 0)与训练集性能之间做出权衡。简单性和训练集性能二者对于模型的重要程度可以由用户通过设置 alpha 参数来指定。在前面的例子中,我们用的是默认参数 alpha=1.0 。但没有理由认为这会给出最佳权衡。 alpha 的最佳设定值取决于用到的具体数据集。增大 alpha 会使得系数更加趋向于 0,从而降低训练集性能,但可能会提高泛化性能。例如:

ridge10=Ridge(alpha=10).fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.2f}".format(ridge10.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(ridge10.score(X_test, y_test)))

[out]

Training set score: 0.79

Test set score: 0.64

减小 alpha 可以让系数受到的限制更小。对于非常小的 alpha 值,系数几乎没有受到限制,我们得到一个与 LinearRegression 类似的模型:

ridge01 = Ridge(alpha=0.1).fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.2f}".format(ridge01.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(ridge01.score(X_test, y_test)))

[out]

Training set score: 0.93

Test set score: 0.77

这里 alpha=0.1 似乎效果不错。我们可以尝试进一步减小 alpha 以提高泛化性能。第 5 章将会讨论选择参数的正确方法。

我们还可以查看 alpha 取不同值时模型的 coef_ 属性,从而更加定性地理解 alpha 参数是如何改变模型的。更大的 alpha 表示约束更强的模型,所以我们预计大 alpha 对应的 coef_ 元素比小 alpha 对应的 coef_ 元素要小。这一点可以在图 2-12 中得到证实:

plt.plot(ridge.coef_, 's', label="Ridge alpha=1")
plt.plot(ridge10.coef_, '^', label="Ridge alpha=10")
plt.plot(ridge01.coef_, 'v', label="Ridge alpha=0.1")
plt.plot(lr.coef_, 'o', label="LinearRegression")
plt.xlabel("Coefficient index")
plt.ylabel("Coefficient magnitude")
plt.hlines(0, 0, len(lr.coef_))
plt.ylim(-25, 25)
plt.legend()

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-12:不同 alpha 值的岭回归与线性回归的系数比较

这里 x 轴对应 coef_ 的元素: x=0 对应第一个特征的系数, x=1 对应第二个特征的系数,以此类推,一直到 x=100 。y 轴表示该系数的具体数值。这里需要记住的是,对于 alpha=10 ,系数大多在 -3 和 3 之间。对于 alpha=1 的 Ridge 模型,系数要稍大一点。对于 alpha=0.1 ,点的范围更大。对于没有做正则化的线性回归(即 alpha=0 ),点的范围很大,许多点都超出了图像的范围。

还有一种方法可以用来理解正则化的影响,就是固定 alpha 值,但改变训练数据量。对于图 2-13 来说,我们对波士顿房价数据集做二次抽样,并在数据量逐渐增加的子数据集上分别对 LinearRegression 和 Ridge(alpha=1) 两个模型进行评估(将模型性能作为数据集大小的函数进行绘图,这样的图像叫作学习曲线):

mglearn.plots.plot_ridge_n_samples()

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-13:岭回归和线性回归在波士顿房价数据集上的学习曲线

正如所预计的那样,无论是岭回归还是线性回归,所有数据集大小对应的训练分数都要高于测试分数。由于岭回归是正则化的,因此它的训练分数要整体低于线性回归的训练分数。但岭回归的测试分数要更高,特别是对较小的子数据集。如果少于 400 个数据点,线性回归学不到任何内容。随着模型可用的数据越来越多,两个模型的性能都在提升,最终线性回归的性能追上了岭回归。这里要记住的是,如果有足够多的训练数据,正则化变得不那么重要,并且岭回归和线性回归将具有相同的性能(在这个例子中,二者相同恰好发生在整个数据集的情况下,这只是一个巧合)。图 2-13 中还有一个有趣之处,就是线性回归的训练性能在下降。如果添加更多数据,模型将更加难以过拟合或记住所有的数据。

4. lasso

除了 Ridge ,还有一种正则化的线性回归是 Lasso 。与岭回归相同,使用 lasso 也是约束系数使其接近于 0,但用到的方法不同,叫作 L1 正则化。L1 正则化的结果是,使用 lasso 时某些系数刚好为 0。这说明某些特征被模型完全忽略。这可以看作是一种自动化的特征选择。某些系数刚好为 0,这样模型更容易解释,也可以呈现模型最重要的特征。

我们将 lasso 应用在扩展的波士顿房价数据集上:

from sklearn.linear_model import Lasso

lasso = Lasso().fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.2f}".format(lasso.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(lasso.score(X_test, y_test)))
print("Number of features used: {}".format(np.sum(lasso.coef_ != 0)))
print("Number of all feature: {}".format(lasso.coef_.shape[0]))

[out]

Training set score: 0.29

Test set score: 0.21

Number of features used: 4

Number of all feature: 104

如你所见, Lasso 在训练集与测试集上的表现都很差。这表示存在欠拟合,我们发现模型只用到了 105 个特征中的 4 个。与 Ridge 类似, Lasso 也有一个正则化参数 alpha ,可以控制系数趋向于 0 的强度。在上一个例子中,我们用的是默认值 alpha=1.0 。为了降低欠拟合,我们尝试减小 alpha 。这么做的同时,我们还需要增加 max_iter 的值(运行迭代的最大次数):

# 我们增大max_iter的值,否则模型会警告我们,说应该增大max_iter
lasso001 = Lasso(alpha=0.01, max_iter=100000).fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.2f}".format(lasso001.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(lasso001.score(X_test, y_test)))
print("Number of features used: {}".format(np.sum(lasso001.coef_ != 0)))

[out]

Training set score: 0.90

Test set score: 0.77

Number of features used: 33

alpha 值变小,我们可以拟合一个更复杂的模型,在训练集和测试集上的表现也更好。模型性能比使用 Ridge 时略好一点,而且我们只用到了 105 个特征中的 33 个。这样模型可能更容易理解。

但如果把 alpha 设得太小,那么就会消除正则化的效果,并出现过拟合,得到与LinearRegression 类似的结果:

lasso00001 = Lasso(alpha=0.0001, max_iter=100000).fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.2f}".format(lasso00001.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.2f}".format(lasso00001.score(X_test, y_test)))
print("Number of features used: {}".format(np.sum(lasso00001.coef_ != 0)))

[out]

Training set score: 0.95

Test set score: 0.64

Number of features used: 96

再次像图 2-12 那样对不同模型的系数进行作图,见图 2-14:

plt.plot(lasso.coef_, 's', label="Lasso alpha=1")
plt.plot(lasso001.coef_, '^', label="Lasso alpha=0.01")
plt.plot(lasso00001.coef_, 'v', label="Lasso alpha=0.0001")
plt.plot(ridge01.coef_, 'o', label="Ridge alpha=0.1")
plt.legend(ncol=2, loc=(0, 1.05))
plt.ylim(-25, 25)
plt.xlabel("Coefficient index")
plt.ylabel("Coefficient magnitude")

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-14:不同 alpha 值的 lasso 回归与岭回归的系数比较

在 alpha=1 时,我们发现不仅大部分系数都是 0(我们已经知道这一点),而且其他系数也都很小。将 alpha 减小至 0.01 ,我们得到图中向上的三角形,大部分特征等于 0。alpha=0.0001 时,我们得到正则化很弱的模型,大部分系数都不为 0,并且还很大。为了便于比较,图中用圆形表示 Ridge 的最佳结果。 alpha=0.1 的 Ridge 模型的预测性能与alpha=0.01 的 Lasso 模型类似,但 Ridge 模型的所有系数都不为 0。

在实践中,在两个模型中一般首选岭回归。但如果特征很多,你认为只有其中几个是重要的,那么选择 Lasso 可能更好。同样,如果你想要一个容易解释的模型, Lasso 可以给出更容易理解的模型,因为它只选择了一部分输入特征。 scikit-learn 还提供了 ElasticNet类,结合了 Lasso 和 Ridge 的惩罚项。在实践中,这种结合的效果最好,不过代价是要调节两个参数:一个用于 L1 正则化,一个用于 L2 正则化。

5. 用于分类的线性模型

线性模型也广泛应用于分类问题。我们首先来看二分类。这时可以利用下面的公式进行

预测:

\[ŷ = w[0] * x[0] + w[1] * x[1] + …+ w[p] * x[p] + b > 0
\]

这个公式看起来与线性回归的公式非常相似,但我们没有返回特征的加权求和,而是为预测设置了阈值(0)。如果函数值小于 0,我们就预测类别 -1;如果函数值大于 0,我们就预测类别 +1。对于所有用于分类的线性模型,这个预测规则都是通用的。同样,有很多种不同的方法来找出系数(w)和截距(b)。

对于用于回归的线性模型,输出 ŷ 是特征的线性函数,是直线、平面或超平面(对于更高维的数据集)。对于用于分类的线性模型,决策边界是输入的线性函数。换句话说,(二元)线性分类器是利用直线、平面或超平面来分开两个类别的分类器。本节我们将看到这方面的例子。

学习线性模型有很多种算法。这些算法的区别在于以下两点:

  • 系数和截距的特定组合对训练数据拟合好坏的度量方法;
  • 是否使用正则化,以及使用哪种正则化方法。

不同的算法使用不同的方法来度量“对训练集拟合好坏”。由于数学上的技术原因,不可能调节 w 和 b 使得算法产生的误分类数量最少。对于我们的目的,以及对于许多应用而言,上面第一点(称为损失函数)的选择并不重要。

最常见的两种线性分类算法是 Logistic 回归(logistic regression)和线性支持向量机(linear support vector machine,线性 SVM),前者在 linear_model.LogisticRegression 中实现,后者在 svm.LinearSVC (SVC 代表支持向量分类器)中实现。虽然 LogisticRegression的名字中含有回归(regression),但它是一种分类算法,并不是回归算法,不应与LinearRegression 混淆。

我们可以将 LogisticRegression 和 LinearSVC 模型应用到 forge 数据集上,并将线性模型找到的决策边界可视化(图 2-15):

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.svm import LinearSVC X, y = mglearn.datasets.make_forge() figs, axes = plt.subplots(1,2, figsize=(10,3)) for model, ax in zip([LinearSVC(), LogisticRegression()], axes):
clf = model.fit(X,y)
mglearn.plots.plot_2d_separator(clf, X, fill=False, eps=0.5, ax=ax, alpha=.7)
mglearn.discrete_scatter(X[:,0], X[:,1],y, ax=ax)
ax.set_title("{}".format(clf.__class__.__name__))
ax.set_xlabel("Feature 0")
ax.set_ylabel("Feature 1")
axes[0].legend()

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-15:线性 SVM 和 Logistic 回归在 forge 数据集上的决策边界(均为默认参数)

在这张图中, forge 数据集的第一个特征位于 x 轴,第二个特征位于 y 轴,与前面相同。图中分别展示了 LinearSVC 和 LogisticRegression 得到的决策边界,都是直线,将顶部归为类别 1 的区域和底部归为类别 0 的区域分开了。换句话说,对于每个分类器而言,位于黑线上方的新数据点都会被划为类别 1,而在黑线下方的点都会被划为类别 0。

两个模型得到了相似的决策边界。注意,两个模型中都有两个点的分类是错误的。两个模型都默认使用 L2 正则化,就像 Ridge 对回归所做的那样。

对于 LogisticRegression 和 LinearSVC ,决定正则化强度的权衡参数叫作 C 。 C 值越大,对应的正则化越弱。换句话说,如果参数 C 值较大,那么 LogisticRegression 和LinearSVC 将尽可能将训练集拟合到最好,而如果 C 值较小,那么模型更强调使系数向量(w)接近于 0。参数 C 的作用还有另一个有趣之处。较小的 C 值可以让算法尽量适应“大多数”数据点,而较大的 C 值更强调每个数据点都分类正确的重要性。下面是使用 LinearSVC 的图示(图 2-16):

mglearn.plots.plot_linear_svc_regularization()

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-16:不同 C 值的线性 SVM 在 forge 数据集上的决策边界

在左侧的图中, C 值很小,对应强正则化。大部分属于类别 0 的点都位于底部,大部分属于类别 1 的点都位于顶部。强正则化的模型会选择一条相对水平的线,有两个点分类错误。在中间的图中, C 值稍大,模型更关注两个分类错误的样本,使决策边界的斜率变大。最后,在右侧的图中,模型的 C 值非常大,使得决策边界的斜率也很大,现在模型对类别 0 中所有点的分类都是正确的。类别 1 中仍有一个点分类错误,这是因为对这个数据集来说,不可能用一条直线将所有点都分类正确。右侧图中的模型尽量使所有点的分类都正确,但可能无法掌握类别的整体分布。换句话说,这个模型很可能过拟合。

与回归的情况类似,用于分类的线性模型在低维空间中看起来可能非常受限,决策边界只能是直线或平面。同样,在高维空间中,用于分类的线性模型变得非常强大,当考虑更多特征时,避免过拟合变得越来越重要。

我们在乳腺癌数据集上详细分析 LogisticRegression :

from sklearn.datasets import load_breast_cancer
cancer = load_breast_cancer()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(cancer.data, cancer.target, stratify=cancer.target, random_state=42)
logreg = LogisticRegression().fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.3f}".format(logreg.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.3f}".format(logreg.score(X_test, y_test)))

[out]

Training set score: 0.955

Test set score: 0.958

C=1 的默认值给出了相当好的性能,在训练集和测试集上都达到 95% 的精度。但由于训练集和测试集的性能非常接近,所以模型很可能是欠拟合的。我们尝试增大 C 来拟合一个更灵活的模型:

logreg100 = LogisticRegression(C=100).fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.3f}".format(logreg100.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.3f}".format(logreg100.score(X_test, y_test)))

[out]

Training set score: 0.972

Test set score: 0.965

使用 C=100 可以得到更高的训练集精度,也得到了稍高的测试集精度,这也证实了我们的直觉,即更复杂的模型应该性能更好。

我们还可以研究使用正则化更强的模型时会发生什么。设置 C=0.01 :

logreg001 = LogisticRegression(C=0.01).fit(X_train, y_train)
print("Training set score: {:.3f}".format(logreg001.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.3f}".format(logreg001.score(X_test, y_test)))

[out]

Training set score: 0.934

Test set score: 0.930

正如我们所料,在图 2-1 中将已经欠拟合的模型继续向左移动,训练集和测试集的精度都比采用默认参数时更小。

最后,来看一下正则化参数 C 取三个不同的值时模型学到的系数(图 2-17):

plt.plot(logreg.coef_.T, 'o', label="C=1")
plt.plot(logreg100.coef_.T, '^', label="C=100")
plt.plot(logreg001.coef_.T, 'v', label="C=0.001")
plt.xticks(range(cancer.data.shape[1]), cancer.feature_names, rotation=90)
plt.hlines(0, 0, cancer.data.shape[1])
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel("Coefficient index")
plt.ylabel("Coefficient magnitude")
plt.legend()

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-17:不同 C 值的 Logistic 回归在乳腺癌数据集上学到的系数

由于 LogisticRegression 默认应用 L2 正则化,所以其结果与图 2-12 中 Ridge 的结果类似。更强的正则化使得系数更趋向于 0,但系数永远不会正好等于 0。进一步观察图像,还可以在第 3 个系数那里发现有趣之处,这个系数是“平均周长”(mean perimeter)。C=100 和 C=1 时,这个系数为负,而C=0.001 时这个系数为正,其绝对值比 C=1 时还要大。在解释这样的模型时,人们可能会认为,系数可以告诉我们某个特征与哪个类别有关。例如,人们可能会认为高“纹理错误”(texture error)特征与“恶性”样本有关。但“平均周长”系数的正负号发生变化,说明较大的“平均周长”可以被当作“良性”的指标或“恶性”的指标,具体取决于我们考虑的是哪个模型。这也说明,对线性模型系数的解释应该始终持保留态度。

如果想要一个可解释性更强的模型,使用 L1 正则化可能更好,因为它约束模型只使用少

数几个特征。下面是使用 L1 正则化的系数图像和分类精度(图 2-18)。

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-18:对于不同的 C 值,L1 惩罚的 Logistic 回归在乳腺癌数据集上学到的系数

for C, marker in zip([0.001, 1, 100], ['o', '^', 'v']):
lr_l1 = LogisticRegression(C=C, penalty="l1").fit(X_train, y_train)
print("Training accuracy of l1 logreg with C={:.3f}: {:.2f}".format(
C, lr_l1.score(X_train, y_train)))
print("Test accuracy of l1 logreg with C={:.3f}: {:.2f}".format(
C, lr_l1.score(X_test, y_test)))
plt.plot(lr_l1.coef_.T, marker, label="C={:.3f}".format(C))
plt.xticks(range(cancer.data.shape[1]), cancer.feature_names, rotation=90)
plt.hlines(0, 0, cancer.data.shape[1])
plt.xlabel("Coefficient index")
plt.ylabel("Coefficient magnitude")
plt.ylim(-5, 5)
plt.legend(loc=3)

如你所见,用于二分类的线性模型与用于回归的线性模型有许多相似之处。与用于回归的线性模型一样,模型的主要差别在于 penalty 参数,这个参数会影响正则化,也会影响模型是使用所有可用特征还是只选择特征的一个子集。

6. 用于多分类的线性模型

许多线性分类模型只适用于二分类问题,不能轻易推广到多类别问题(除了 Logistic 回归)。将二分类算法推广到多分类算法的一种常见方法是“一对其余”(one-vs.-rest)方法。在“一对其余”方法中,对每个类别都学习一个二分类模型,将这个类别与所有其他类别尽量分开,这样就生成了与类别个数一样多的二分类模型。在测试点上运行所有二类分类器来进行预测。在对应类别上分数最高的分类器“胜出”,将这个类别标签返回作为预测结果。

每个类别都对应一个二类分类器,这样每个类别也都有一个系数(w)向量和一个截距(b)。下面给出的是分类置信方程,其结果中最大值对应的类别即为预测的类别标签:

\[w[0] * x[0] + w[1] * x[1] + … + w[p] * x[p] + b
\]

多分类 Logistic 回归背后的数学与“一对其余”方法稍有不同,但它也是对每个类别都有一个系数向量和一个截距,也使用了相同的预测方法。

我们将“一对其余”方法应用在一个简单的三分类数据集上。我们用到了一个二维数据集,每个类别的数据都是从一个高斯分布中采样得出的(见图 2-19):

from sklearn.datasets import make_blobs

X, y=make_blobs(random_state=42)
mglearn.discrete_scatter(X[:,0],X[:,1],y)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.legend(["Class 0", "Class 1", "Class 2"])

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-19:包含 3 个类别的二维玩具数据集

现在,在这个数据集上训练一个 LinearSVC 分类器:

linear_svm = LinearSVC().fit(X, y)
print("Coefficient shape: ", linear_svm.coef_.shape)
print("Intercept shape: ", linear_svm.intercept_.shape)

[out]

Coefficient shape: (3, 2)

Intercept shape: (3,)

们看到, coef_ 的形状是 (3, 2) ,说明 coef_ 每行包含三个类别之一的系数向量,每列包含某个特征(这个数据集有 2 个特征)对应的系数值。现在 intercept_ 是一维数组,保存每个类别的截距。

我们将这 3 个二类分类器给出的直线可视化(图 2-20):

mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
line = np.linspace(-15, 15)
for coef, intercept, color in zip(linear_svm.coef_, linear_svm.intercept_, ['b','r','g']):
plt.plot(line, -(line*coef[0]+intercept)/coef[1], c=color)
plt.ylim(-10,15)
plt.xlim(-10, 8)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.legend(['Class 0', 'Class 1', 'Class 2', 'Line class 0', 'Line class 1',
'Line class 2'], loc=(1.01, 0.3))

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-20:三个“一对其余”分类器学到的决策边界

你可以看到,训练集中所有属于类别 0 的点都在与类别 0 对应的直线上方,这说明它们位于这个二类分类器属于“类别 0”的那一侧。属于类别 0 的点位于与类别 2 对应的直线上方,这说明它们被类别 2 的二类分类器划为“其余”。属于类别 0 的点位于与类别 1 对应的直线左侧,这说明类别 1 的二元分类器将它们划为“其余”。因此,这一区域的所有点都会被最终分类器划为类别 0(类别 0 的分类器的分类置信方程的结果大于 0,其他两个类别对应的结果都小于 0)。

但图像中间的三角形区域属于哪一个类别呢,3 个二类分类器都将这一区域内的点划为“其余”。这里的点应该划归到哪一个类别呢?答案是分类方程结果最大的那个类别,即最接近的那条线对应的类别。下面的例子(图 2-21)给出了二维空间中所有区域的预测结果:

mglearn.plots.plot_2d_classification(linear_svm, X, fill=True, alpha=.7)
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
line = np.linspace(-15, 15)
for coef, intercept, color in zip(linear_svm.coef_, linear_svm.intercept_,
['b', 'r', 'g']):
plt.plot(line, -(line * coef[0] + intercept) / coef[1], c=color)
plt.legend(['Class 0', 'Class 1', 'Class 2', 'Line class 0', 'Line class 1',
'Line class 2'], loc=(1.01, 0.3))
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")

Python机器学习基础教程-第2章-监督学习之线性模型
图 2-21:三个“一对其余”分类器得到的多分类决策边界

7. 优点、缺点和参数

线性模型的主要参数是正则化参数,在回归模型中叫作 alpha ,在 LinearSVC 和 Logistic-Regression 中叫作 C 。 alpha 值较大或 C 值较小,说明模型比较简单。特别是对于回归模型而言,调节这些参数非常重要。通常在对数尺度上对 C 和 alpha 进行搜索。你还需要确定的是用 L1 正则化还是 L2 正则化。如果你假定只有几个特征是真正重要的,那么你应该用L1 正则化,否则应默认使用 L2 正则化。如果模型的可解释性很重要的话,使用 L1 也会有帮助。由于 L1 只用到几个特征,所以更容易解释哪些特征对模型是重要的,以及这些特征的作用。

线性模型的训练速度非常快,预测速度也很快。这种模型可以推广到非常大的数据集,对稀疏数据也很有效。如果你的数据包含数十万甚至上百万个样本,你可能需要研究如何使用 LogisticRegression 和 Ridge 模型的 solver='sag' 选项,在处理大型数据时,这一选项比默认值要更快。其他选项还有 SGDClassifier 类和 SGDRegressor 类,它们对本节介绍的线性模型实现了可扩展性更强的版本。

线性模型的另一个优点在于,利用我们之间见过的用于回归和分类的公式,理解如何进行预测是相对比较容易的。不幸的是,往往并不完全清楚系数为什么是这样的。如果你的数据集中包含高度相关的特征,这一问题尤为突出。在这种情况下,可能很难对系数做出解释。

如果特征数量大于样本数量,线性模型的表现通常都很好。它也常用于非常大的数据集,只是因为训练其他模型并不可行。但在更低维的空间中,其他模型的泛化性能可能更好。2.3.7 节会介绍几个线性模型不适用的例子。

上一篇:Mybatis 源码分析--Configuration.xml配置文件加载到内存


下一篇:MongoDB中的高级查询(二)