三校联考 Day3

大水题

题目描述：给出一个圆及圆上的若干个点，问两个点间的最远距离。

solution
按极角排序，按顺序枚举，显然距离最远的点是单调的，线性时间可解出答案。

大包子的束缚

题目描述：给出一个圆以及直角坐标系上的若干个点，选择其中的一些点，使得两两相连的线段所在的直线与圆无交，求最多可以选多少个点。

solution
这题的题解有点奇怪，总的来说就是……我还不知道怎么做……

毛毛虫图

题目描述：定义毛毛虫图为一个无向无环图，且满足图中存在一条路径，使得每个点到这条路径的距离都小于等于\(1\).毛毛虫图不能有重边，但可以有自环。现给定一个无向图，并且定义合并操作：每次选定两个点u, v，将u, v两点以及所连的边删去，再加入一个新点w，将原来和u, v相连的边改成跟w相连。问至少需要多少次合并操作才能使无向图变成一个毛毛虫图。

solution
首先，这道题具有以下的几点性质：
1、如果原图有环，那么需要花费环内点的个数-1次操作把环消除。
2、不连通的块需要花费1次操作使其和其它的相连
3、由于以上的两点操作，剩下的点和边组成一棵无向树，设取得那条路径上有\(len\)个点，这棵树上度数为\(1\)的点有\(s\)个，那么这幅图最终可以剩下\(len+s-2\)个点，所以这条路径应该贪心地取树的直径。
有了以上的性质，就可以对图先双连通缩点，然后求树的直径，统计度数为\(1\)的点的个数，就可以算出答案。

自然的神星树

题目描述：给出一棵树与\(m\)种水果，给出若干个操作为将数上的一条路径上的点的某一种水果的数量加\(1\)，求操作完后，每个点那种水果最多。

solution
对于树上的路径，可以尝试用树链剖分来处理，把树上的点重标号。由树链剖分修改的操作可以得出，可以将一条路径分成\(logn\)个分别连续的区间，所以总共有\(nlogn\)个区间。按重标号的标号顺序进行扫描，建一棵表示当前每种水果有多少个的线段树，如果当前扫描到的编号\(i\)为某个区间的开头，就加入线段树，如果\(i\)为某个区间的结尾，那么就线段树中删去。扫描完后映射回原标号就可以得出答案。