QuantLib 金融计算——原理之 Bootstrap
这次新开一个系列，不讲应用案例了，尝试介绍 QuantLib 某些核心功能背后的代码逻辑与数学原理。
Bootstrap 的原理
通过合约报价推算期限结构的过程称为“bootstrap”，其思想和实践非常类似于理论证明中用到的“数学归纳法”，大体过程如下：
- 首先将要用到的已知利率和金融工具根据期限升序排列；
- 假设已经求得期限结构上的第 \(n\) 个值——\(TS_n\)，对应于第 \(n\) 个报价；
- 令 \(TS_{n+1}\) 是个待定参数 \(x\)，并给定一个初值；
- 用已知的期限结构数据——\(TS_1,\dots,TS_n,x\)，对第 \(n+1\) 个金融工具进行估值；
- 调整 \(x\)，使得估值结果与报价达到一致；
- 此时，\(x\) 便是要求解的 \(TS_{n+1}\)；
- 以此类推。
其中 \(TS\) 可以是即期利率、远期利率、贴现因子三者中的任意一个，而可用的插值方法也有线性插值、样条插值、对数线性插值和常数插值等等。两个维度相互搭配可以产生非常多的组合，QuantLib 通过模板技术实现两个维度的*搭配，具体选择哪种组合要视业务需要而定。
其他问题语境下的 bootstrap 计算原理类似。
QuantLib 中的 bootstrap 计算（利率语境）
要在 QuantLib 中 bootstrap 出一条利率曲线所涉及的最核心的类有两个：
- 直接调用的类是
PiecewiseYieldCurve模板类，它直接接受一组报价； - 另外一个间接调用的类是
IterativeBootstrap模板类，作为PiecewiseYieldCurve的默认模板参数。
PiecewiseYieldCurve 需要三个模板参数，前两个分别确定底层数据和插值方法的选择。比如说 PiecewiseYieldCurve<Discount, LogLinear> 表示程序内部 bootstrap 出一条贴现因子曲线，用对数线性法插值得到任意日期上的利率值。
IterativeBootstrap 是 PiecewiseYieldCurve 需要的第三个模板参数，并且是默认选项。它本身就是个模板类，而它的模板参数正是实例化后的 PiecewiseYieldCurve。C++ 模板就是这么神奇！
在整个 bootstrap 计算过程中，实际出苦力的类是 IterativeBootstrap，它负责从若干金融工具的报价数据中迭代地求解出利率曲线，而 PiecewiseYieldCurve 则是充当 Boss 的角色。
核心代码细节
现在来看看 QuantLib 具体怎么实现 bootstrap 的。
通过一些模板技巧，PiecewiseYieldCurve 其实是 YieldTermStructure 的派生类，所以它最核心的方法是 discountImpl（要了解这一点，请阅读《构建 QuantLib》）。
DiscountFactor PiecewiseYieldCurve<C,I,B>::discountImpl(Time t) const
{
calculate();
return base_curve::discountImpl(t);
}
在返回数据之前，PiecewiseYieldCurve 会先调用 calculate，bootstrap 的计算就发生在这里。
PiecewiseYieldCurve 的 calculate 方法直接复用其基类 LazyObject 的 calculate 方法。这里应用了“模板方法模式”，calculate 只起到传达命令的作用，实际的计算任务被重新委派回了 PiecewiseYieldCurve 的 performCalculations 方法。
void PiecewiseYieldCurve<C,I,B>::performCalculations() const
{
// just delegate to the bootstrapper
bootstrap_.calculate();
}
在 performCalculations 方法中 IterativeBootstrap 的一个实例 bootstrap_ 最终执行所有计算。
尽管 IterativeBootstrap 的 calculate 方法代码很长，但毛教员教育我们分析问题要“抓大放小”，其实最核心的代码只有两行，
if (validData)
solver_.solve(*errors_[i], accuracy, guess, min, max);
else
firstSolver_.solve(*errors_[i], accuracy, guess, min, max);
solver_ 和 firstSolver_ 分别是 Brent 和 FiniteDifferenceNewtonSafe 对象，用于求解（非）线性函数的根，也就是求解利率。
errors_[i] = ext::shared_ptr<BootstrapError<Curve> >(
new BootstrapError<Curve>(ts_, helper, i));
errors_ 是 BootstrapError 对象，也是一个函数对象，它负责返回估值结果与实际报价之间的差距，充当待求解的（非）线性函数。
const ext::shared_ptr<typename Traits::helper>& helper = ts_->instruments_[j];
而 helper 就是某个传递给 PiecewiseYieldCurve 的报价对象，在利率语境下通常是 FraRateHelper 或 SwapRateHelper 等 XXXRateHelper 对象，这些 XXXRateHelper 类专门用于 bootstrap 计算。
上述代码便是 QuantLib 对 bootstrap 原理的实现。
开放问题：如何实现 FR007 互换的相关分析？
利率互换的分析分为两大类：
- 对存续合约估计、计算敏感性等；
- 根据最新合约的报价推算利率期限结构。
FR007 互换的现金流结构和普通的利率互换（例如 Shibor3M 互换）基本一致，每隔三个月交换现金流，但确定浮动端利率的方式有不同。在三个月的付息区间内 FR007 利率要每隔七天确定一次，付息区间内的若干 FR007 利率还需要经过某些计算才能最终确定浮动端利率。
根据上述代码的分析，要想最大限度的复用当前逻辑并最小程度的编写代码，需要在 helper 上做文章，可以考虑实现 SwapRateHelper 的兄弟类 FR007SwapRateHelper，以及配套的 FR007Swap 类（作为 VanillaSwap 的派生类或兄弟类）。
QuantLib 当前实现的 ArithmeticAverageOIS 和 ArithmeticOISRateHelper 也许是非常值得效仿的范例。
下一步将尝试按照上述思路实现 C++ 代码。