二叉搜索树虽然可以提升搜索的效率，但是有缺陷，就是建树的时候的参数，是有序的，或者是接近有序的，那么就会退化成单支树，搜索效率就会变成o(n)
于是发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
为了纪念发明这种解法的人，所以就叫作AVL树（AVL树又叫平衡二叉搜索树）
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
一个AVL树的前提就是，AVL树一定是二叉搜索树，二叉搜索树不一定是AVL树
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
首先是对一棵树平衡因子如何去判断？
我选择的是右子树高度减去左子树的高度。
//由于AVL树的平衡因子本身就只有三种可能0， -1 ， 1
//插入新节点之前
//0 ----》pParent 是叶子节点 ======》插入的节点有可能插入左子树 || 右子树,所以插入后双亲节点有可能会变成+-1
//1 ----》pParent只有右孩子 ======》插入的节点只能插入左子树-》0
//-1 ----》pParent只有左孩子 ======》插入的节点只能插入右子树-》0
//说这个的意思就是，最后两种情况下，只是影响到了双亲的平衡因子，并没有影响双亲再向上的结点的平衡因子
当插入之前平衡因子是1 / -1，插入之后变成0这种情况
接着是插入前平衡因子是0的情况：
首先是对，什么是左单选，什么是右单旋进行介绍。
树的左旋和右旋
右单旋的场景：
右单旋：新插入的节点插入到较高子树（较高子树是左子树）的左侧（外侧）
在旋转过程中的三个特殊结点：
三个特殊节点，其中有一个结点有可能为空
提的话提的是较高子树的根，也就是，哪个结点不平衡了，就去提它的左孩子和右孩子中，高度较高的那一个
另外一种情况下的右单旋：
第三种右单旋：(左单支)
但是就算这个结点为空，但也不影响啥，只是需要一一列出，右单旋的三种情况
以上三种场景就是右单旋的三种场景
虽然场景不同，但是每一个场景中所给出的代码确实相同的，给出这三种场景只是为了让人看的更加清楚明白
当然，做完上面的操作之后还需要更新三个特殊节点的双亲指针域
总结一下，分为三步
1.改变特殊结点的左右孩子指针域
2.更新特殊节点的平衡因子
3.更新特殊结点的双亲结点的指针域
4.判读最高顶点是否是根节点，再完成连接，更新平衡因子
这里为了便于注释，标记从上到下：
pParent：特殊结点1
pSubl:特殊结点2
pSublr:特殊结点3
右单旋代码：
//右单旋代码
void RotateRight(Node* pParent_1) //特殊结点1
{
Node* pSubL = pParent_1->_pLeft; //特殊结点2
Node* pSubLR = pSubL->_pRight; //特殊结点3
pParent->_pLeft = pSubLR;
//这里的判空主要是为了避免第三种情况，左单支
if (pSubLR) //如果特殊结点3不为空的话，就让特殊节点3的双亲指针域指向特殊结点1
pSubLR->_pParent = pParent_1;
pSubL->_pRight = pParent_1;
//接着就是处理特殊节点中的pParent_1结点
//由于pParent_1我们不知道是不是根节点,因为我们局部画出来的pParent就是一个根结点，但是我们不能保证上面就没有其他的结点了
//所以这里要分情况讨论
//如果是pParent_1是子树的话，也就是说pParent的上面还有树
//为了防止丢失pParent_1的双亲结点，这里我们先将pParent的双亲保存起来
Node* pPParent = pParent_1->_pParent; //特殊结点1的双亲结点有可能是空
pParent_1->_pParent = pSubL; //重新设置双亲
pSubL->_pParent = pPParent;
if (pPParent == nullptr) //说明特殊结点1没有双亲，
{
_pRoot = pSubL; //没有双亲的话，就直接更新类中的根节点为特殊结点2
}
else //说明特殊结点1有双亲
{
if (pPParent->_pLeft == pParent_1) //此时虽然更新了特殊节点1的双亲，但是特殊节点1原来的双亲，还是将特殊结点1，视为自己的孩子
//所以说如果，特殊节点1是之前双亲的左孩子的话，就需要让他的左孩子现在指向特殊节点2，反之就是让右孩子指向特殊节点2
pPParent->_pLeft = pSubL;
else
pPParent->_pRight = pSubL;
}
//接着是更新平衡因子
//选装更新完毕之后，特殊节点1和特殊结点2的平衡因子都变成0
//特殊结点1的双亲结点平衡因子不变
pParent_1->_bf = pSubL->_bf = 0;
}
左单旋代码：
左单选一种情况：
根据右单旋可以写出左单旋：
//左单旋
void RotateLeft(Node* pParent_1) //特殊结点1
{
Node* pSubR = pParent_1->_pRight; //特殊结点2
Node* pSubRL = pSubR->_pLeft; //特殊结点3
pParent_1->_pRight = pSubRL;
if (pSubRL)
pSubRL->_pParent = pParent_1;
pSubR->_pLeft = pParent_1;
Node* pPParent = pParent_1->_pParent;
pSubR->_pParent = pPParent;
pParent_1->_pParent = pSubR;
if (pPParent == nullptr)
{
_proot = pSubR;
}
else
{
if (pParent_1 == pPParent->_pLeft)
{
pPParent->_pLeft = pSubR;
}
else
{
pPParent->_pRight = pSubR;
}
}
pParent_1->_bf = pSubR->_bf = 0;
}
左单旋右单旋：
其中一种情况：
先对不平衡结点的左子树进行左单旋
再对整体进行右单旋
左单旋右单旋代码：
这里不仅仅是对左单旋和右单旋的复用，因为存在一些特殊的情况，在左单旋和右单旋的时候，我们在最后直接让特殊结点1和特殊节点2的平衡因子直接等于0，但是在旋转的时候对于一些特定的AVL树又存在一些特定的办法，所以这里还需要对一些情况进行判断。
//左单旋右单旋
void RotateLR(Node* pParent)
{
//旋转前进行保存结点
Node* pSubR = pParent->_pLeft;
Node* pSubRL = pSubR->_pRight;
int bf = pSubRL->_bf;
RotateLeft(pParent->_pLeft);
RotateRight(pParent);
//三种情况
//bf ==1 || -1 || 0,0的情况在内部已经处理过了
if (bf == 1)
pSubRL->_bf = -1;
else if (bf == -1)
pParent->_bf = 1;
}
右单旋左单旋：
同理右单旋左单旋也是这样
右单旋左单旋代码：
//右单旋左单旋
void RotateRL(Node* pParent)
{
//右左双旋的时候发现，有部分结点的平衡因子需要更新，也是一些特定的情况
//这里就不画图分析了，直接给出代码
Node* pSubR = pParent->_pRight;
Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;
int bf = pSubRL->_bf;
RotateRight(pParent->_pRight);
RotateLeft(pParent);
//三种情况
//bf ==1 || -1 || 0,0的情况在内部已经处理过了
if (bf == 1)
pParent->_bf = -1;
else if (bf == -1)
pSubR->_bf = 1;
}
最终代码：
#include<iostream>
using namespace std;
template<class T> //结点结构
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
};
//在下面的插入操作中，判断一个结点的平衡因子，我们默认是使用右子树 - 左子树
//再说一次默认是右子树-左子树
template<class T>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:
AVLTree()
:_pRoot(nullptr)
{}
bool Insert(const T& data)
{
//AVL树有可能是空树
if (nullptr == _pRoot)
{
_pRoot = new Node(data);
return true;
}
//非空
//先按照二叉搜索树的方式进行插入
//首先要说的就是，插入的位置绝对是，叶子节点 || 只有左孩子的结点 || 只有右孩子的结点
//绝对不会在既有左孩子，又有右孩子的结点进行插入
Node* pCur = _pRoot;
Node* pParent = nullptr;
while (pCur)
{
pParent = pCur; //保存待插入结点的双亲结点
if (data < pCur->_data)
pCur = pCur->_pLeft;
else if (data > pCur->_data)
pCur = pCur->_pRight;
else
return false; //这里的意思就是假如要插入的值树中已存在那么就直接返回，默认树中插得值都是不一样的
}
//插入新结点
pCur = new Node(data); //先创建结点
if (data > pParent->_data)
pParent->_pRight = pCur;
else
pParent->_pLeft = pCur;
pCur->_pParent = pParent; //最后再让新节点的双亲结点指向pParent
//每次插入新节点之后，双亲结点的平衡因子一定会发生改变
//更新双亲的平衡因子
while (pParent) //循环条件就是双亲不为空
{
if (pCur == pParent->_pLeft) //如果是左子树，则双亲的平衡因子--。因为我默认平衡因子的算法是右子树减去左子树
pParent->_bf--;
else
pParent->_bf++;
//由于AVL树的平衡因子本身就只有三种可能0， -1 ， 1
//插入新节点之前
//0 ----》pParent 是叶子节点 ======》插入的节点有可能插入左子树 || 右子树,所以插入后双亲节点有可能会变成+-1
//1 ----》pParent只有右孩子 ======》插入的节点只能插入左子树-》0
//-1 ----》pParent只有左孩子 ======》插入的节点只能插入右子树-》0
//说这个的意思就是，最后两种情况下，只是影响到了双亲的平衡因子，并没有影响双亲再向上的结点的平衡因子
if (pParent->_bf == 0) //也就是说，再进行完上面的++||--之后，使得插入元素的结点，的平衡因子变成了0，也就是上面我所说到的最后两种情况，因为没有影响到再向上的其他结点，所以可以直接返回了
return true;
else if (pParent->_bf == -1 || pParent->_bf == 1) //这种就属于会影响到插入结点的双亲结点，再向上的，所有结点的情况
{
//这里调整pCur的位置
pCur = pParent; //此时就需要不停的进入while循环进行刚开始的++||--的更新操作
pParent = pCur->_pParent;
}
else
{
//parent的平衡因子 == 2 || -2
//说明此时已经违反了AVL树的性质 -- 此时树已经不平衡了，此时就要对以pParent为根的树进行旋转
//旋转又分为四种
//左单旋
//右单旋
//此处可以使用根据不平衡结点的平衡因子来计算，假如平衡因子是+2，有因为我们是拿右子树减的左子树所以这里就是左单旋，否则就是右单旋
//当然只判断不平衡结点是远远不够的，因为还有左右双旋，和右左双旋，所以还要判断不平衡结点的左右子树
//左右双旋：左单选右单旋
//右左双旋：左单选右单旋
if (pParent->_bf == 2)
{
//pParent的右子树高
//pCur的平衡因子是+1
//因为插入之后只会在插入结点的一条路径上进行修改，所以pCur就是pParent的孩子结点，不必知道是左右孩子，因为没必要知道
if (pCur->_bf == 1)
{
//左单旋
RotateLeft(pParent);
}
else
{
//pCur的平衡因子是-1
//右左双旋
RotateRL(pParent);
}
}
else
{
//pParent的左子树高
//pParent->_bf == -2
if (pCur->_bf == -1)
{
//右单旋
RotateRight(pParent);
}
else
{
//左右双旋
RotateLR(pParent);
}
}
break; //旋转完成就不需要再次进入while中了，可以直接退出因为，插入节点导致不平衡前和旋转平衡后层数没有变化,对上面没有影响
}
}
return true;
}
//为了避免和结点结构中的pParent混淆，这里我是用pParent_1,来代替传入的特殊节点1
void RotateRight(Node* pParent_1) //特殊结点1
{
Node* pSubL = pParent_1->_pLeft; //特殊结点2
Node* pSubLR = pSubL->_pRight; //特殊结点3
pParent_1->_pLeft = pSubLR;
//这里的判空主要是为了避免第三种情况，左单支
if (pSubLR) //如果特殊结点3不为空的话，就让特殊节点3的双亲指针域指向特殊结点1
pSubLR->_pParent = pParent_1;
pSubL->_pRight = pParent_1;
//接着就是处理特殊节点中的pParent_1结点
//由于pParent_1我们不知道是不是根节点,因为我们局部画出来的pParent就是一个根结点，但是我们不能保证上面就没有其他的结点了
//所以这里要分情况讨论
//如果是pParent_1是子树的话，也就是说pParent的上面还有树
//为了防止丢失pParent_1的双亲结点，这里我们先将pParent的双亲保存起来
Node* pPParent = pParent_1->_pParent; //特殊结点1的双亲结点有可能是空
pParent_1->_pParent = pSubL; //重新设置双亲
pSubL->_pParent = pPParent;
if (pPParent == nullptr) //说明特殊结点1没有双亲，
{
_pRoot = pSubL; //没有双亲的话，就直接更新类中的根节点为特殊结点2
}
else //说明特殊结点1有双亲
{
if (pPParent->_pLeft == pParent_1) //此时虽然更新了特殊节点1的双亲，但是特殊节点1原来的双亲，还是将特殊结点1，视为自己的孩子
//所以说如果，特殊节点1是之前双亲的左孩子的话，就需要让他的左孩子现在指向特殊节点2，反之就是让右孩子指向特殊节点2
pPParent->_pLeft = pSubL;
else
pPParent->_pRight = pSubL;
}
//接着是更新平衡因子
//选装更新完毕之后，特殊节点1和特殊结点2的平衡因子都变成0
//特殊结点1的双亲结点平衡因子不变
pParent_1->_bf = pSubL->_bf = 0;
}
//左单旋
void RotateLeft(Node* pParent_1) //特殊结点1
{
Node* pSubR = pParent_1->_pRight; //特殊结点2
Node* pSubRL = pSubR->_pLeft; //特殊结点3
pParent_1->_pRight = pSubRL;
if (pSubRL)
pSubRL->_pParent = pParent_1;
pSubR->_pLeft = pParent_1;
Node* pPParent = pParent_1->_pParent;
pSubR->_pParent = pPParent;
pParent_1->_pParent = pSubR;
if (pPParent == nullptr)
{
_pRoot = pSubR;
}
else
{
if (pParent_1 == pPParent->_pLeft)
{
pPParent->_pLeft = pSubR;
}
else
{
pPParent->_pRight = pSubR;
}
}
pParent_1->_bf = pSubR->_bf = 0;
}
//右单旋左单旋
void RotateRL(Node* pParent)
{
//右左双旋的时候发现，有部分结点的平衡因子需要更新，也是一些特定的情况
//这里就不画图分析了，直接给出代码
Node* pSubR = pParent->_pRight;
Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;
int bf = pSubRL->_bf;
RotateRight(pParent->_pRight);
RotateLeft(pParent);
//三种情况
//bf ==1 || -1 || 0,0的情况在内部已经处理过了
if (bf == 1)
pParent->_bf = -1;
else if (bf == -1)
pSubR->_bf = 1;
}
//左单旋右单旋
void RotateLR(Node* pParent)
{
Node* pSubR = pParent->_pLeft;
Node* pSubRL = pSubR->_pRight;
int bf = pSubRL->_bf;
RotateLeft(pParent->_pLeft);
RotateRight(pParent);
//三种情况
//bf ==1 || -1 || 0,0的情况在内部已经处理过了
if (bf == 1)
pSubRL->_bf = -1;
else if (bf == -1)
pParent->_bf = 1;
}
void InOreder() //中序遍历
{
_InOrder(_pRoot);
}
bool Tree_Hight() //判断这棵树是不是AVL树
{
return _Tree_Hight(_pRoot);
}
private:
void _InOrder(Node* pRoot) //中序遍历
{
if (pRoot == nullptr)
return;
_InOrder(pRoot->_pLeft);
cout << pRoot->_data << endl;
_InOrder(pRoot->_pRight);
}
bool _Tree_Hight(Node* pRoot) //判断是不是AVL树
{
if (pRoot == nullptr)
return true;
int Left_Hight = Hight(pRoot->_pLeft);
int Right_Hight = Hight(pRoot->_pRight);
int bf = Right_Hight - Left_Hight; //自己算出来的平衡因子
if (abs(bf) > 1 || bf != pRoot->_bf)
return false;
return _Tree_Hight(pRoot->_pLeft) && _Tree_Hight(pRoot->_pRight);
}
int Hight(Node* pRoot)
{
if (pRoot == nullptr)
return 0;
int L = Hight(pRoot->_pLeft);
int R = Hight(pRoot->_pRight);
return L > R ? L + 1 : R + 1;
}
Node* _pRoot;
};
void test()
{
int array[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
AVLTree<int> t;
for (auto e : array)
t.Insert(e);
t.InOreder();
cout << t.Tree_Hight() << endl;
}
int main()
{
test();
return 0;
}