【NOIP2017】逛公园拆点最短路+拓扑(记忆化搜索

2022-12-07 22:44:21

题目描述

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张N个点M条边构成的有向图，且没有自环和重边。其中1号点是公园的入口，N号点是公园的出口，每条边有一个非负权值，代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从1号点进去，从N号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果1号点到N号点的最短路长为d，那么策策只会喜欢长度不超过d+K的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？

为避免输出过大，答案对P取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出−1。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数 T, 代表数据组数。

接下来TT组数据，对于每组数据：第一行包含四个整数 N,M,K,P，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来M行，每行三个整数ai,bi,ci，代表编号为ai,bi的点之间有一条权值为 ci的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出文件包含 T 行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

3

-1

说明

【样例解释1】

对于第一组数据，最短路为 33。 $1 – 5, 1 – 2 – 4 – 5, 1 – 2 – 3 – 5$ 为 33 条合法路径。

【测试数据与约定】

对于不同的测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下

测试点编号	TT	NN	MM	KK	是否有0边
1	5	5	10	0	否
2	5	1000	2000	0	否
3	5	1000	2000	50	否
4	5	1000	2000	50	否
5	5	1000	2000	50	否
6	5	1000	2000	50	是
7	5	100000	200000	0	否
8	3	100000	200000	50	否
9	3	100000	200000	50	是
10	3	100000	200000	50	是

对于 100%的数据, 1 \le P \le 10^9,1 \le a_i,b_i \le N ,0 \le c_i \le 10001≤P≤109,1≤ai,bi≤N,0≤ci≤1000。

数据保证：至少存在一条合法的路线。

------------------------------------------------------

在此衷心感谢rockdu～

还是本着避开DP的原则，这一次我们继续用骚操作的避开一波浓浓的DP味～～～～

以下摘录rockdu的原话加上我的一点点理解：

首先这道题关键的一步是找出T到所有点的最短路是多少，

虽然起点很多但是终点只有一个，我们从终点反着跑最短路，就可以求出所有的最优距离。

然后我们想，如果从S出发到达点u，距离误差已经超过了K，这时候会怎么样呢？

我们无力回天，因为即使用最优策略也只能让误差不增加

所以对于每一个点，我们只关心误差在K以内的方案数

这时候统计方案数需要用到一个技巧，叫拆点最短路

对于每一个原图中的点，我们把它都拆成K个点，第x个点表示到了点u时误差为x的状态，也就是说强行把原来的走到u这个状态细化了，现在每一个小点能更精确的表示需要的信息

再进一步思考，这个图一定是一个dag：因为边权不为0，误差一定增大

那么想象一下，如果把小点从平面的图中拉出来

形成一层一层的结构，每一层都是一个x，那么一定是只能从x小的层向x大的层流动

也就是不可能一个点误差是k走一圈回来误差仍然是k，整个层次图构成了dag

因此，统计dag上可以到达T的路径数就可以了，写一个记忆化搜索做到O(n) (我最后用的topsort+f[i]来解决这一个问题 topsort顺便用来判了-1的情况

如果有边权为0的，并且可以反向到达S正向到达T的环，那么有无限组方案

我觉得整个过程真的是妙妙啊....

同时要注意：

1.memset(first,0,sizeof(first));

2.根据新图的性质要把数组开到足够大

3.仔细品读建新图的过程

4.记得手写队列

以下代码：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 #include<queue>

 #define N 200100

 #define ll long long

 using namespace std;

 int n,m,k,p;

 ll ans;

 struct node

 {

     int u,v,w,nxt;

 }e[N*],g[N*];

 int first[N],cnt;

 void ade(int u,int v,int w)

 {

     e[++cnt].nxt=first[u]; first[u]=cnt;

     e[cnt].u=u; e[cnt].v=v; e[cnt].w=w;

 }

 int fir[N*],cnnt;

 void adde(int u,int v,int w)

 {

     g[++cnnt].nxt=fir[u]; fir[u]=cnnt;

     g[cnnt].u=u; g[cnnt].v=v; g[cnnt].w=w;

 }

 void adeg(int u,int v)

 {

     g[++cnnt].nxt=fir[u]; fir[u]=cnnt;

     g[cnnt].u=u; g[cnnt].v=v;

 }

 ll dis[N];

 bool vis[N];

 void spfa(int x)

 {

     queue<int>q;

     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));

     memset(vis,true,sizeof(vis));

     q.push(x);

     dis[x]=;

     while(!q.empty())

     {

         int u=q.front(); q.pop();

         vis[u]=true;

         for(int i=first[u];i;i=e[i].nxt)

         {

             int v=e[i].v;

             if(dis[v]>dis[u]+e[i].w)

             {

                 dis[v]=dis[u]+e[i].w;

                 if(vis[v]==true)

                 {

                     q.push(v);

                     vis[v]=false;

                 }

             }

         }

     }

 }

 ll dis2[N];

 void spfa2(int x)

 {

     queue<int>q;

     memset(dis2,0x3f,sizeof(dis));

     memset(vis,true,sizeof(vis));

     q.push(x);

     dis2[x]=;

     while(!q.empty())

     {

         int u=q.front(); q.pop();

         vis[u]=true;

         for(int i=fir[u];i;i=g[i].nxt)

         {

             int v=g[i].v;

             if(dis2[v]>dis2[u]+g[i].w)

             {

                 dis2[v]=dis2[u]+g[i].w;

                 if(vis[v]==true)

                 {

                     q.push(v);

                     vis[v]=false;

                 }

             }

         }

     }

 }

 int get(int x,int y)

 {

     return (x-)*(k+)+y+;

 }

 int ru[N*];

 void build_graph()

 {

     for(int i=;i<=m;i++)

     {

         int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w;

         int x=get(u,);

         int y=get(v,dis[u]+w-dis[v]);

         for(int j=dis[u];j+w+dis2[v]<=dis[n]+k;j++,x++,y++)

         { adeg(x,y); ru[y]++; }

     }

 }

 ll sum,f[N*];

 int q[N<<];

 void topsort2()

 {

     int l = ,r=;

     for(int i = ;i<=n*(k+);i++)

         if(!ru[i]) q[++r]=i;

     f[]=;

     while(l<r)

     {

         int x=q[++l];

         sum++;

         for(int i=fir[x];i;i=g[i].nxt)

         {

             int v=g[i].v;

             ru[v]--;

             if(!ru[v]) q[++r]=v;

             f[v]+=f[x];

             f[v] = f[v]>p ? f[v]-p : f[v];

         }

     }

 }

 void pre()

 {

     memset(first,,sizeof(first));

     memset(fir,,sizeof(fir));

     memset(f,,sizeof(f));

     memset(ru,,sizeof(ru));

     sum=ans=cnnt=cnt=;

 }

 int main()

 {

     int t;

     scanf("%d",&t);

     while(t--)

     {

         pre();

         scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&p);

         for(int i=,x,y,z;i<=m;i++)

         {

             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

             ade(x,y,z); adde(y,x,z);

         }

         spfa();

         spfa2(n);

         memset(fir,,sizeof(fir));

         cnnt=;

         build_graph();

         topsort2();

         int num=(k+)*n;

         if(sum<num) printf("-1\n");

         else

         {

             for(int i=;i<=k;i++)

                 ans=(ans+f[get(n,i)])%p;

             printf("%lld\n",ans);

         }

     }

     return ;

 }

 /*

 1

 5 7 2 10

 1 2 1

 2 4 0

 4 5 2

 2 3 2

 3 4 1

 3 5 2

 1 5 3

 */

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