@[Splay, 哈希]
Description
火星人最近研究了一种操作：求一个字串两个后缀的公共前缀。比方说，有这样一个字符串：\(madamimadam\)，
我们将这个字符串的各个字符予以标号：
序号: \(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11\)
字符: \(m a d a m i m a d a m\)
现在，火星人定义了一个函数\(LCQ(x, y)\)，表示：该字符串中第x个字符开始的字串，与该字符串中第y个字符开始的字串
，两个字串的公共前缀的长度。比方说，\(LCQ(1, 7) = 5, LCQ(2, 10) = 1, LCQ(4, 7) = 0\) 在研究LCQ函数的过程
中，火星人发现了这样的一个关联：如果把该字符串的所有后缀排好序，就可以很快地求出LCQ函数的值；同样，如果求出了LCQ函数的值，也可以很快地将该字符串的后缀排好序。 尽管火星人聪明地找到了求取LCQ函数的快速算法，但不甘心认输的地球人又给火星人出了个难题：在求取LCQ函数的同时，还可以改变字符串本身。具体地说，可以更改字符串中某一个字符的值，也可以在字符串中的某一个位置插入一个字符。地球人想考验一下，在如此
复杂的问题中，火星人是否还能够做到很快地求取LCQ函数的值。
Input
第一行给出初始的字符串。第二行是一个非负整数M，表示操作的个数。接下来的M行，每行描述一个操作。操
作有3种，如下所示
1、询问。语法：Qxy，x,y均为正整数。功能：计算LCQ(x,y)限制：1<=x,y<=当前字符串长度。
2、修改。语法：Rxd，x是正整数，d是字符。功能：将字符串中第x个数修改为字符d。限制：x不超过当前字
符串长度。
3、插入：语法：Ixd，x是非负整数，d是字符。功能：在字符串第x个字符之后插入字符d，如果x=0，则在字
符串开头插入。限制：x不超过当前字符串长度
Output
对于输入文件中每一个询问操作，你都应该输出对应的答案。一个答案一行。
Sample Input
madamimadam
7
Q 1 7
Q 4 8
Q 10 11
R 3 a
Q 1 7
I 10 a
Q 2 11
Sample Output
5
1
0
2
1
HINT
1、所有字符串自始至终都只有小写字母构成。
2、M<=150,000
3、字符串长度L自始至终都满足L<=100,000
4、询问操作的个数不超过10,000个。
对于第1，2个数据，字符串长度自始至终都不超过1,000
对于第3，4，5个数据，没有插入操作。
Solution
首先吐槽一下題目
火星人发现了这样的一个关联：如果把该字符串的所有后缀排好序，就可以很快地求出LCQ函数的值；同样，如果求出了LCQ函数的值，也可以很快地将该字符串的后缀排好序.
這都是什麼鬼.. 完全是誤導..
這一題正解是用Splay維護帶有插入的區間, 再用二分加Hash來判斷兩個子串是否相同.
首先是要對Hash的性質熟悉. 兩個串在知道長度的情況下, 將其首尾相接, 是可以在\(O(1)\)的時間內得到新的Hash值的. 有了這個性質, 才能對一個節點\(O(1)\)進行更新.
然後是Splay維護區間. Splay維護區間的題到目前來說做得很少, 但實際上其應用還是很廣泛的. 操作利用了Splay的旋轉操作, 以及二叉搜索树的性質. 具體來說, 有以下兩種操作:
- 插入: 假設要在第\(x\)和第\(x + 1\)位之間進行插入, 則將第\(x\)和\(x + 1\)位分別旋轉至根和根節點的子節點上(即確保這兩個點直接相連). 這樣的好處就是, 可以確保\(x + 1\)這個點的左子樹一定是空的. 這時, 直接在左子樹上加入新节点即可.
- 查詢: 假設要查詢\((L, R)\)這一段區間, 則按插入的方法將兩個節點上旋, 這時, \(R\)的左子樹即是需要查詢的整個範圍.
嗯, 大概就是這麼多. 原理實際上稍微想想就可以理解了.
然後這一題還要注意分別在字符串首尾加上一位, 因为插入和查詢时要访问到需要用到的区间的前一位和后一位. 具體細節看代碼吧(代碼好難寫.. QAQ)
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline void read(char *s)
{
char c;
while(! isgraph(c = getchar()));
int len = 0;
while(isgraph(c))
s[len ++] = c, c = getchar();
}
inline void read(int &x)
{
x = 0;
char c;
while(! isdigit(c = getchar()));
while(isdigit(c))
x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
}
inline void read(char &c)
{
while(! isgraph(c = getchar()));
}
const int L = 1 << 18;
int pwr[L];
char s[L];
int top;
int root;
struct Node
{
int size, key, suc[2], pre;
char c;
Node(){}
Node(int L, int R, int _pre, int _c)
{
suc[0] = L, suc[1] = R, pre = _pre, c = _c;
}
}T[L];
void update(int u)
{
T[u].size = (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0)
+ (~ T[u].suc[1] ? T[T[u].suc[1]].size : 0)
+ 1;
T[u].key = (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].key : 0)
+ T[u].c * pwr[~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0]
+ (~ T[u].suc[1] ? pwr[~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size + 1 : 1] * T[T[u].suc[1]].key : 0);
}
int Build(int L, int R, int pre)
{
if(L > R)
return - 1;
int mid = L + R >> 1;
int u = top ++;
T[u] = Node(Build(L, mid - 1, u), Build(mid + 1, R, u), pre, s[mid]);
update(u);
return u;
}
int Find(int u, int k)
{
if(k == (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0) + 1)
return u;
else if(k > (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0))
return Find(T[u].suc[1], k - (~ T[u].suc[0] ? T[T[u].suc[0]].size : 0) - 1);
else
return Find(T[u].suc[0], k);
}
void Rotate(int u)
{
int pre = T[u].pre, prepre = T[T[u].pre].pre, k = u == T[T[u].pre].suc[1];
T[pre].suc[k] = T[u].suc[k ^ 1];
T[T[u].suc[k ^ 1]].pre = pre;
T[u].suc[k ^ 1] = pre;
T[pre].pre = u;
T[u].pre = prepre;
if(prepre != - 1)
T[prepre].suc[T[prepre].suc[1] == pre] = u;
if(root == pre)
root = u;
update(pre), update(u);
}
void Splay(int u, int rt)
{
while(T[u].pre != rt)
{
if(T[T[u].pre].pre != rt)
Rotate((u == T[T[u].pre].suc[0]) == (T[u].pre == T[T[T[u].pre].pre].suc[0]) ? T[u].pre : u);
Rotate(u);
}
}
inline void println(int x)
{
if(x == 0)
putchar('0');
if(x < 0)
putchar('-'), x *= - 1;
int top = 0, ans[1 << 4];
while(x)
ans[top ++] = x % 10, x /= 10;
for(; top; top --)
putchar(ans[top - 1] + '0');
putchar('\n');
}
int main()
{
pwr[0] = 1;
for(int i = 1; i < L; i ++)
pwr[i] = pwr[i - 1] * 31;
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("BZOJ1014.in", "r", stdin);
freopen("BZOJ1014.out", "w", stdout);
#endif
int m;
read(s + 1), read(m);
int n = strlen(s + 1);
s[0] = s[n + 1] = 0;
top = 0;
root = Build(0, n + 1, - 1);
for(int i = 0; i < m; i ++)
{
char opt;
read(opt);
if(opt == 'I')
{
int x;
char c;
read(x), read(c);
int u = Find(root, x + 1);
int v = Find(root, x + 2);
Splay(u, - 1);
Splay(v, u);
u = top ++;
T[u] = Node(- 1, - 1, v, c);
T[v].suc[0] = u;
update(u), update(v), update(T[v].pre);
n ++;
}
if(opt == 'R')
{
int x;
char c;
read(x), read(c);
int u = Find(root, x + 1);
Splay(u, - 1);
T[u].c = c;
update(u);
}
if(opt == 'Q')
{
int x, y;
read(x), read(y);
if(x == y)
{
println(n - x + 1);
continue;
}
if(x > y)
swap(x, y);
int L = 0, R = n, ans = 0;
while(L <= R)
{
int mid = L + R >> 1;
if(y + 1 + mid > n + 2)
{
R = mid - 1;
continue;
}
int u = Find(root, x), v = Find(root, x + 1 + mid);
Splay(u, - 1), Splay(v, u);
int hax = (~ T[v].suc[0] ? T[T[v].suc[0]].key : 0);
u = Find(root, y), v = Find(root, y + 1 + mid);
Splay(u, - 1), Splay(v, u);
int hay = (~ T[v].suc[0] ? T[T[v].suc[0]].key : 0);
if(hax == hay)
ans = max(ans, mid), L = mid + 1;
else
R = mid - 1;
}
println(ans);
}
}
}