这几个题练习DFS序的一些应用。
问题引入：
给定一颗n(n <= 10^5)个节点的有根树，每个节点标有权值，现有如下两种操作：
1、C x y 以节点x的权值修改为y。
2、Q x 求出以节点x为根的子树权值和。
最直观的做法， 枚举一个子树内所有节点的权值加和。但这种做法的每一次讯问的时间复杂度是O(n)的，很明显无法满足题目的需要，我们需要更优的解法。
我们考虑DFS序的另外一种形式，当访问到一个节点时记下当前的时间戳，我们设它为L[x], 结束访问一个节点时当前的时间戳设为R[x]。则以x为根的子树刚好是下标为L[x]和R[x]中间的点。我们看下面这个例子。
有了DFS序这个性质我们就可以讲这个问题转化成一个区间求和问题。
每一次询问的复杂度就是O(logn)级别的，完全可以接受。
另外：很多人习惯在生成DFS序的时候，叶子节点的进出时间戳差1，我习惯于叶子节点的进出时间戳一样。这样根节点的时间戳为[1,n]
比如说：上图中如果采用叶子节点进出时间戳差1的写法，DFS序为：4、3、1、7、7、1、2、6、6、2、3、5、8、8、5、4.数量为2*n
如果按照我习惯的做法，DFS序为：4、3、1、7、2、6、5、8.
两种做法都可以，我习惯于第二种。
练习题：
第一题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3887
题意：给定一棵树，求某一节点所在的子树中比它的值小的节点数量。
思路：求给定节点的时间戳区间，则在此区间的DFS序就是该节点的子树中的所有节点。统计这个区间中的比给定节点值小的数目即可。
这里我们可以变换一种思维，从后往前找。因为值最大的节点之间肯定都是比它小的。求出后删除掉，就不会影响小标号的节点统计了。
区间维护用线段树或者树状数组均可。我用线段树。
为了避免卡Vector，建树用前向星模拟一下。
为了避免卡递归DFS爆栈，用手工模拟非递归DFS。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std; #define Maxn 100005
#define lx (x<<1)
#define rx ((x<<1) | 1)
#define MID ((l + r)>>1) int n,s;
int total = 0; //前向星
int first[Maxn];
int next[Maxn<<1];
struct Edge
{
int a,b;
}edge[Maxn<<1]; int S[Maxn<<2];
int vis[Maxn]; struct Node
{
int l,r;
}node[Maxn]; int nodeNum = 0;
int f[Maxn];
stack <int> st; void insert(int a,int b)
{
total++;
edge[total].a = a;
edge[total].b = b;
next[total] = first[a];
first[a] = total;
}
//递归dfs会爆栈
/*void dfs(int s)
{
nodeNum++;
vis[s] = 1;
node[s].l = nodeNum;
for(int i=first[s];i!=-1;i=next[i])
{
if(!vis[edge[i].b]) dfs(edge[i].b);
}
node[s].r = nodeNum;
}*/ void dfs(int s)
{
st.push(s);
while(!st.empty())
{
int flag = 0;
int t = st.top();
if(!vis[t])
{
nodeNum++;
node[t].l = nodeNum;
vis[t] = 1;
}
for(int i=first[t];i!=-1;i=next[i])
{
if(!vis[edge[i].b])
{
st.push(edge[i].b);
flag = 1;
}
}
//叶子节点
//把pop放在最后
if(!flag)
{
node[t].r = nodeNum;
st.pop();
}
}
}
//线段树相关
void pushUp(int x)
{
S[x] = S[lx] + S[rx];
}
void build(int l,int r,int x)
{
if(l == r)
{
S[x] = 1;
return;
}
build(l,MID,lx);
build(MID+1,r,rx);
pushUp(x);
}
void update(int p,int d,int l,int r,int x)
{
if(l == r)
{
S[x] += d;
return;
}
if(p<=MID) update(p,d,l,MID,lx);
else update(p,d,MID+1,r,rx);
pushUp(x);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int x)
{
if(L<=l && r<=R)
{
return S[x];
}
int ans = 0;
if(L<=MID) ans += query(L,R,l,MID,lx);
if(MID+1<=R) ans += query(L,R,MID+1,r,rx);
return ans;
}
void init()
{
total = 0;
nodeNum = 0;
memset(first,-1,sizeof(first));
memset(next,-1,sizeof(next));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(f,0,sizeof(f));
while(!st.empty())
{
st.pop();
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in2.txt","r",stdin);
#endif
int a,b;
while(scanf(" %d %d",&n,&s)!=EOF)
{
init();
if(n+s == 0) break;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
scanf(" %d %d",&a,&b);
insert(a,b);
insert(b,a);
}
dfs(s);
build(1,n,1);
for(int i=n;i>=1;i--)
{
f[i] = query(node[i].l,node[i].r,1,n,1) - 1;
update(node[i].l,-1,1,n,1);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
i == n ? printf("%d\n",f[i]) : printf("%d ",f[i]);
}
}
return 0;
}
第二题： http://poj.org/problem?id=3321
题意是统计某一节点所在子树的节点个数。伴随着节点的删除增加操作。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std; #define Maxn 100005
#define lx (x<<1)
#define rx ((x<<1) | 1)
#define MID ((l + r)>>1) //卡Vector，改成前向星吧
//点邻接的第一个边号
int first[Maxn];
int next[Maxn<<1];
int edgeNum;
struct Edge
{
int a,b;
}edge[Maxn<<1]; int vis[Maxn];
int total = 0;
int n,m;
int S[Maxn<<2]; struct Node
{
int l,r;
}node[Maxn]; void insert(int a,int b)
{
edgeNum++;
edge[edgeNum].a = a;
edge[edgeNum].b = b;
next[edgeNum] = first[a];
first[a] = edgeNum;
}
void dfs(int s)
{
//printf("hello world\n");
total++;
node[s].l = total;
vis[s] = 1;
for(int i = first[s];i!=-1;i = next[i])
{
if(!vis[edge[i].b]) dfs(edge[i].b);
}
node[s].r = total;
}
void pushUp(int x)
{
S[x] = S[lx] + S[rx];
}
void build(int l,int r,int x)
{
if(l == r)
{
S[x] = 1;
return;
}
build(l,MID,lx);
build(MID+1,r,rx);
pushUp(x);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int x)
{
if(L<=l && r<=R) return S[x];
int ans = 0;
if(L<=MID) ans += query(L,R,l,MID,lx);
if(MID+1<=R) ans += query(L,R,MID+1,r,rx);
pushUp(x);
return ans;
}
void update(int p,int d,int l,int r,int x)
{
if(l == r)
{
S[x] = d - S[x];
return;
}
if(p<=MID) update(p,d,l,MID,lx);
else update(p,d,MID+1,r,rx);
pushUp(x);
} void init()
{
total = 0;
edgeNum = 0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(next,-1,sizeof(next));
memset(first,-1,sizeof(first));
} int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif int a,b,c;
char op[5];
init();
scanf(" %d",&n);
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
scanf(" %d %d",&a,&b);
insert(a,b);
insert(b,a);
}
dfs(1);
build(1,n,1);
scanf(" %d",&m);
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf(" %s %d",op,&c);
if(op[0] == 'Q')
{
int ans = query(node[c].l,node[c].r,1,n,1);
printf("%d\n", ans);
}
else if(op[0] == 'C')
{
update(node[c].l,1,1,n,1);
}
}
return 0;
}
第三题：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1103
某一节点到根节点距离的维护问题。
思路：使用DFS O(n)预处理出所有节点到根的路径上的权值和，将一个点的权值增加b就相当于将这个以这个点为根的子树中所有节点到根的距离增加b，使用线段树的lazy标记。
虽然此题是区间更新，单点查询。我们也可以用区间更新，区间查询的思路。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std; #define Maxn 250005
#define lx (x<<1)
#define rx ((x<<1) | 1)
#define MID ((l + r)>>1) int n,m; int first[Maxn];
int next[Maxn];
int father[Maxn];
int vis[Maxn];
int rank[Maxn];
//本题处理成有向边，就不用开双倍内存了
struct Edge
{
int a,b;
}edge[Maxn];
int edgeNum = 0;
int totalNum = 0; struct Node
{
int l,r;
int roadNum;
}node[Maxn]; //处理成有向边吧
void insert(int a,int b)
{
edgeNum++;
edge[edgeNum].a = a;
edge[edgeNum].b = b;
next[edgeNum] = first[a];
first[a] = edgeNum;
}
void dfs(int s,int deep)
{
totalNum++;
node[s].l = totalNum;
rank[totalNum] = s;
node[s].roadNum = deep;
vis[s] = 1;
for(int i=first[s];i!=-1;i=next[i])
{
if(!vis[edge[i].b]) dfs(edge[i].b,deep+1);
}
node[s].r = totalNum;
}
void init()
{
memset(first,-1,sizeof(first));
memset(next,-1,sizeof(next));
memset(father,0,sizeof(father));
memset(vis,0,sizeof(vis));
edgeNum = 0;
totalNum = 0;
} int S[Maxn<<2];
int D[Maxn<<2]; void pushUp(int x)
{
//S[x] = S[lx] + S[rx];
//我们只需要叶节点的信息，写个伪的吧
return;
}
void pushDown(int l,int r,int x)
{
if(D[x])
{
D[lx] += D[x];
D[rx] += D[x];
S[lx] += (MID-l+1)*D[x];
S[rx] += (r-MID)*D[x];
D[x] = 0;
}
}
void build(int l,int r,int x)
{
if(l == r)
{
S[x] = node[rank[l]].roadNum;
return;
}
build(l,MID,lx);
build(MID+1,r,rx);
pushUp(x);
}
void update(int L,int R,int d,int l,int r,int x)
{
if(L<=l && r<=R)
{
D[x] += d;
S[x] += (r - l + 1)*d;
return;
}
pushDown(l,r,x);
if(L<=MID) update(L,R,d,l,MID,lx);
if(MID+1<=R) update(L,R,d,MID+1,r,rx);
pushUp(x);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int x)
{ if(L<=l && r<=R)
{
return S[x];
}
int ans = 0;
pushDown(l,r,x);
if(L<=MID) ans += query(L,R,l,MID,lx);
if(R>=MID+1) ans += query(L,R,MID+1,r,rx);
return ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
init();
int a,b;
int opa,opb;
char op[5];
scanf(" %d",&n);
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
scanf(" %d %d",&a,&b);
if(a>b) swap(a,b);
insert(a,b);
}
dfs(1,0); build(1,n,1); scanf(" %d",&m);
m = n + m - 1;
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf(" %s",op);
if(op[0] == 'W')
{
scanf(" %d",&opa);
int ans = query(node[opa].l,node[opa].l,1,n,1);
printf("%d\n", ans);
}
else if(op[0] == 'A')
{
scanf(" %d %d",&opa,&opb);
if(opa>opb) swap(opa,opb);
update(node[opb].l,node[opb].r,-1,1,n,1);
}
}
return 0;
}