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2022-11-30 17:04:14

母函数（Generating function）详解

— Tanky Woo

在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”

2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “

我们首先来看下这个多项式乘法：

母函数图(1)

由此可以看出:

1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。

2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。

进一步得到：

母函数图(2)

母函数的定义

对于序列a₀，a₁，a₂，…构造一函数：

母函数图(3)

称函数G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函数。

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

考虑用母函数来解决这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量（总重），这样：

1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示， //1*x^1表示用1个1克的砝码可以组合成总重为1的情况的数目（前面的系数是状态数）

1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，

1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，

1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，

//每个式子的第一个1都表示用1个ng的砝码可以组合成总重为0的情况的数目（有1中可能组合成0）

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。

那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。

所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“

接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？

这里的系数表示状态数(方案数)

1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种。

接着上面，接下来是第二种情况：

第二种：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

母函数图(4)

以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

#include <iostream>

using namespace std;

// Author: Tanky Woo

// www.wutianqi.com

const int _max = 10001;

// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目

// c2是中间量，保存没一次的情况

int c1[_max], c2[_max];

int main()

{    //int n,i,j,k;

    int nNum;   //

    int i, j, k;   while(cin >> nNum)

    {

        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①

        {

            c1[i] = 1;

            c2[i] = 0;

        }

        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②

        {   for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③

                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④

                {

                    c2[j+k] += c1[j];

                }

            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤

            {

                c1[j] = c2[j];

                c2[j] = 0;

            }

        }

        cout << c1[nNum] << endl;

    }

    return 0;

}

我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)

① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^²+..x^ⁿ)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。

③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量，(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误，大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。

④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。

⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。

咱们赶快趁热打铁，来几道题目：

（相应题目解析均在相应的代码里分析）

1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码：http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!

看看这题：

2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码：http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码：http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点，但是万变不离其中。