最大流求混合图是否存在欧拉回路。
以下内容摘自http://www.cnblogs.com/Missa/archive/2012/12/05/2803107.html 讲的很清楚。
混合图的欧拉回路问题 欧拉回路问题。 1 定义 欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图——存在欧拉回路的图。 2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定 G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。 G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。 3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定 D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。 D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。 4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。 5 混合图欧拉回路 混合图欧拉回路用的是网络流。 把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以 2，得 x。即是说，对于每一个点，只要将 x 条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限 1。另新建 s 和 t。对于入 > 出的点 u，连接边(u, t)、容量为 x，对于出 > 入的点 v，连接边(s, v)，容量为 x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是 1，流值不是 0 就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有 x 条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和 s、t 连接的点怎么办？和s 连接的条件是出 > 入，和 t 连接的条件是入 > 出，那么这个既没和 s 也没和 t 连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。 所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。
代码：
/***********************************************
Problem: 1637 User: G_lory
Memory: 328K Time: 141MS
Language: C++ Result: Accepted
***********************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#define pk puts("kk"); using namespace std; const int N = 205;
const int INF = 0x7fffffff; int cap[N][N];
int flow[N];
int pre[N];
queue<int> q; int bfs(int src, int des)
{
while (!q.empty()) q.pop();
memset(pre, -1, sizeof pre);
q.push(src);
flow[src] = INF;
while (!q.empty())
{
int idx = q.front();
if (idx == des) break;
q.pop();
for (int i = 0; i <= des; ++i)
{
if (pre[i] == -1 && cap[idx][i] > 0)
{
flow[i] = min(flow[idx], cap[idx][i]);
pre[i] = idx;
q.push(i);
}
}
}
if (pre[des] == -1) return -1;
return flow[des];
} int maxFlow(int src, int des)
{
int ans = 0;
int in;
while ((in = bfs(src, des)) != -1)
{
int k = des;
while (k != src)
{
int last = pre[k];
cap[last][k] -= in;
cap[k][last] += in;
k = last;
}
ans += in;
}
return ans;
} int in[N];
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
int n, m;
memset(cap, 0, sizeof cap);
memset(flow, 0, sizeof flow);
memset(in, 0, sizeof in);
scanf("%d%d", &n, &m);
int a, b, c; while (m--)
{
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
in[a]--; in[b]++;
if (c == 0) cap[a][b]++;
} int flag = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (in[i] & 1)
{
flag = 0;
break;
}
}
if (!flag)
{
puts("impossible");
continue;
}
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (in[i] < 0) cap[0][i] += ((-in[i]) >> 1);
else if (in[i] > 0)
{
sum += (in[i] >> 1);
cap[i][n + 1] += (in[i] >> 1);
}
}
if (sum == maxFlow(0, n + 1)) puts("possible");
else puts("impossible");
}
return 0;
}