一、算法原理

1、插值问题的定义

当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间【a，b】上一系列节点x0,x1,x2,......xn处测得函数值f(x0)、f(x1)、f(x2)......f(xn)；

由此构造一个简单的简单易算的近似函数g(x)≈f(x)，满足条件g(xi)=f(xi) (i=0,1,2...,n)。这个问题就被称为插值问题。

2、上一篇文章，我们介绍了多项式插值，现在我们来介绍一下拉格朗日插值。

问题引入：

n=1,一次拉格朗日插值（取两个点，插值多项式最高次数n=2-1=1）

已知点x0、x1及其函数值y0、y1，则根据多项式插值原理，可以确定一个次数不超过n-1（2-1）的代数多项式（n为插值点的个数）g(x)=a0+a1*x，使得g(x0)=y0,g(x1)=y1。其推导过程如下；

表达式最后的形式即为拉格朗日插值多项式的形式。

n=2,二次拉格朗日插值（取三个点，插值多项式最高次数n=3-1=2）

已知点x0、x1、x2及其函数值y0、y1、y2，则根据多项式插值原理，可以确定一个次数不超过n-1（3-1）的代数多项式（n为插值点的个数）g(x)=a0+a1*x+a2*x^2，使得g(x0)=y0,g(x1)=y1,g(x2)=y2。写成拉个朗日擦插值的形式为：

要使g(xi)=yi，其中Lk应满足Lk（xi）=1,k=i ； Lk（xi）=0   ,k≠i；根据Lk(x)的定义，xk以外所有的结点都是Lk(x)的根，因此

又由Lk(xk) = 1，得

将求得的系数带入即可求得二次插值的拉格朗日多项式

n次拉格朗日插值（取n+1个点，插值多项式最高次数n）

其拉个朗日多项式的形式为：

要使g(xi)=yi，其中Lk应满足Lk（xi）=1,k=i ； Lk（xi）=0   ,k≠i；根据Lk(x)的定义，xk以外所有的结点都是Lk(x)的根，因此

                                              

又由Lk(xk) = 1，得  

     

  综上所述

                               

               

综上所述，我们有1次，2次，推导出来n次拉个朗日插值多项式的数学公式。

二、matlab代码

%% 拉格朗日插值 (创建函数脚本方可运行)
close
clc
clear
X=[2 3 5 7 8 9];
Y=[5 9 12 16 23 35];
function D=ji(X,n)  %求拉格朗日多项式的系数子函数
syms x
%法一
% switch n
%     case 1
%         B=x-X(2:end);
%         C=X(1)-X(2:end);
%     case length(X)
%         B=x-X(1:n-1);
%         C=X(n)-X(1:n-1);
%     otherwise
%         B=x-X([1:n-1,n+1:end]);
%         C=X(n)-X([1:n-1,n+1:end]);
% end
%法二
Xn=X(n);
X(n)=[];
B=x-X;
C=Xn-X;
D=prod(B)/prod(C);%prod数组元素连乘积
end

m=length(X);
for i=1:m
    L1(i)=Y(i)*ji(X,i);
end
L=sym2poly(expand(sum(L1))) %将符号变量变为数据
x=X(1):0.1:X(end);
y=polyval(L,x); %y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值

plot(x,y)  %画拟合曲线
hold on
plot(X,Y,'o') %画散点图