火车过站
问题描述
火车从始发站(称为第1站)开出,在始发站上车的人数为a,然后到达第2站,在第2站有人上、下车,但上、下车的人数相同,因此在第2站开出时(即在到达第3站之前)车上的人数保持为a人。从第3站起(包括第3站)上、下车的人数有一定规律:上车的人数都是前两站上车人数之和,而下车人数等于上一站上车人数,一直到终点站的前一站(第n-1站),都满足此规律。现给出的条件是:共有N个车站,始发站上车的人数为a,最后一站下车的人数是m(全部下车)。试问p站开出时车上的人数是多少?
输入
输入包含一行, 有四个正整数:a(a<=100),n(n<=20),m(m<=10000)和p(p<=19)
输出
输出为一个整数,为p站开出时车上的人数。
输入样例
1 6 7 3
输出样例
2
分析
思路1
最容易想到的方法就是枚举。枚举第二站上、下车的人数,然后根据题目给出的递推关系判断是否正确。这里的递推关系很清晰,要注意数据规模。
思路2
递推。我们把每站上、下车的人数和上、下车后的总人数用一张表列出来:
车站: 1 2 3 4 5 ……
总数: a a 2a 2a+x 3a+2x ……
上: a x a+x a+2x 2a+3x ……
下: 0 x x a+x a+2x ……
一种简单的方法是根据这个规律使用计算机进行模拟公式计算,我们可以定义一个结构体类型来表示公式,也可以使用数组,这里使用结构体是为了表达更清晰:
struct gs{
int a; //a的个数
int x; //x的个数 公式=ka+jx
}
struct {
gs up; //上的人数
gs down; //下的人数
gs rs; //上、下车后的总人数
}Chezhan[21];
看懂了吗,现在你可以使用循环模拟上面的上、下车过程。
Chezhan[i].up=Chezhan[i-1].up+Chezhan[i-2].up;
Chezhan[i].down=Chezhan[i-1].up; //这样用要使用运算符重载
最后你得到的一个公式是:ka+jx=m
,k和j的值在过程中可以计算出来,m和a是已知的。求解x的过程中如果可以除尽,说明有有效值。如果(m-ka)%j!==0
,说明除不尽,答案为No Answer.
。有了x的值,代入p号站的rs
公式中即可得到结果。代码例程1说明了计算过程。
思路3
这里提供另外一种方法,是对斐波那契数列相关属性的运用。通过公式的推导,可以最大可能的提高运算效率。这里涉及到的数列属性最好能够记下来。查看yuyanggo的专栏:NOIP1998火车站。代码见例程2。
代码例程1
#include<iostream>
using namespace std;
struct gs{ //定义公式结构体
int a;
int x;
};
struct{ //定义车站数组
gs rs;
gs up;
gs down;
}INFO[21];
int main(){
int a, n, m, p, x;
scanf("%d%d%d%d", &a, &n, &m, &p);
INFO[1].up.a=1; //初始信息
INFO[2].up.x=1;
INFO[2].down.x=1;
INFO[1].rs.a=1;
INFO[2].rs.a=1;
for(int i=3; i<n; i++){ //在循环中递推
INFO[i].up.a=INFO[i-1].up.a+INFO[i-2].up.a;
INFO[i].up.x=INFO[i-1].up.x+INFO[i-2].up.x;
INFO[i].down.a=INFO[i-1].up.a;
INFO[i].down.x=INFO[i-1].up.x;
INFO[i].rs=INFO[i-1].rs;
INFO[i].rs.a+=INFO[i].up.a;
INFO[i].rs.a-=INFO[i].down.a;
INFO[i].rs.x+=INFO[i].up.x;
INFO[i].rs.x-=INFO[i].down.x;
//printf("%d*a+%d*x\n", INFO[i].rs.a, INFO[i].rs.x);调试代码,输出过程中数据
}
if((m-INFO[n-1].rs.a*a)%INFO[n-1].rs.x){//x不能整除,无答案
printf("No answer.");
return 0;
}else{ //x可以被整除
x=(m-INFO[n-1].rs.a*a)/INFO[n-1].rs.x;
printf("%d", INFO[p].rs.a*a+INFO[p].rs.x*x);
}
return 0;
}
代码例程2
#include <iostream>
using namespace std;
int b[20]={0,1,1}; //斐波那契数列
int main(){
int a,n,m,x,i,k=0;
scanf("%d%d%d%d",&a,&n,&m,&x);
if(x==1){
printf("%d",a);
return 0;
}
for(i=3;i<20;i++) b[i]=b[i-1]+b[i-2]; //计算斐波那契数列
if(n>4) k=(m-(b[n-3]+1)*a)/(b[n-2]-1);
printf("%d",(b[x-1]-1)*k+(b[x-2]+1)*a);
return 0;
}