题目链接
(BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4732
(UOJ) http://uoj.ac/problem/268
题解
首先考虑，给定一条路径，如何计算与其相交的所有路径的权值和？显然一条路径和另一条路径相交，当且仅当这条路径的LCA在另一条路径上，或者另一条路径的LCA在这条路径上。那么我们考虑维护两个数组\(a\)和\(b\), 分别表示以某点为LCA的路径权值和以及覆盖这个点但不以该点为LCA的路径权值和，则路径\((u,v)\)的价值为\(\sum_{p \in (u,v)}b_p+a_{LCA(u,v)}\).
下面我们要求路径的最大权值，考虑链分治。在一条重链上统计LCA在这条重链上的链的答案。假设一条链和该重链相交的部分为\((u,v)\)其中\(u\)是\(v\)的祖先也是链的LCA。若\(u\ne v\), 该链的权值为\(h_u+h_v+\sum^v_{i=u}a_i+b_u\)，否则为\(h_u+h'_u+a_u+b_u\), 其中\(h_u\)和\(h'_u\)分别为\(u\)点的轻儿子引出的链的\(\sum a_i\)的最大值和次大值。一条重链的权值等于上面的式子在\(u\)和\(v\)变化时的最大值，考虑维护这个最大值，对于\(u\ne v\)的情况，需要采取最大子段和的维护方式；对于\(u=v\)的情况，就是简单的区间修改区间最大值，都可以用线段树维护。总答案等于所有重链的权值最大值，因此我们开一个multiset维护所有重链的权值。
考虑修改。修改时我们需要把一条链上的\(b\)增加一个权值\(w\)(可能是负数)，再把LCA处的\(a\)增加一个权值\(w\). 修改\(b\)在重链上是区间修改，这个可以简单地进行打标记，把后缀和和最大子段和加上某一个值。修改\(a\)在重链上是单点修改。但是一个\(a\)的修改还会影响到它所在重链顶端的父亲的\(h\), 那个点的\(h\)改变又会影响它所在重链顶端的父亲的\(h\)……直到根，因此需要不断跳重链修改。这条链的\(\sum a_i\)最大值就相当于我们在线段树中维护的“最大前缀和”那个量(\(\sum^v_{i=u}a_i+h_v\)), 因此可以直接重新查出，设为\(sa_i\). 为了快速维护\(sa\)的最大次大，我们只需对每个点再开一个multiset记录一下即可。每次对一条链进行修改后，需要重新计算这条链的权值，更新总答案multiset.
时间复杂度\(O(n\log^2n)\).
注意multiset用两个堆实现会快，线段树给每条链开一棵比\([1,n]\)开一棵要快。
代码
人丑常数大……
#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
using namespace std;
inline int read()
{
int w=1,s=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) {s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
return w*s;
}
const int N = 1e5;
struct Edge
{
int nxt,v;
} e[(N<<1)+3];
struct Query
{
int u,v,w;
} qr[N+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3];
int dfn[N+3],idfn[N+3];
int dep[N+3];
int sz[N+3];
int hvs[N+3];
int tpn[N+3],btn[N+3];
llong a[N+3],h[N+3],h2[N+3],hv[N+3],sa[N+3];
int n,q,en,dfnn;
struct Multiset
{
priority_queue<llong> q1,q2;
void insert(llong x) {q1.push(x);}
void erase(llong x) {q2.push(x);}
llong getmx()
{
while(!q2.empty()&&q1.top()==q2.top()) {q1.pop(),q2.pop();}
return q1.top();
}
llong getmx2()
{
llong mx = getmx(); erase(mx); llong ret = getmx(); insert(mx); return ret;
}
};
Multiset lt[N+3]; int ltn[N+3];
Multiset s;
void addedge(int u,int v)
{
en++; e[en].v = v;
e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}
void dfs1(int u)
{
sz[u] = 1; hvs[u] = 0;
for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
{
int v = e[i].v;
if(v==fa[u]) continue;
fa[v] = u;
dep[v] = dep[u]+1;
dfs1(v);
sz[u] += sz[v];
if(hvs[u]==0||sz[v]>sz[hvs[u]]) {hvs[u] = v;}
}
}
void dfs2(int u)
{
dfn[u] = ++dfnn; idfn[dfnn] = u;
if(!hvs[u]) {btn[u] = u; s.insert(0ll); return;}
tpn[hvs[u]] = tpn[u]; dfs2(hvs[u]); btn[u] = btn[hvs[u]];
for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
{
int v = e[i].v;
if(v==fa[u]||v==hvs[u]) continue;
lt[u].insert(0); ltn[u]++;
tpn[v] = v;
dfs2(v);
}
}
struct Data
{
llong v,lv,rv,lrv;
Data() {v = lv = rv = lrv = 0ll;}
Data(llong _v,llong _lv,llong _rv,llong _lrv):v(_v),lv(_lv),rv(_rv),lrv(_lrv) {}
};
Data operator +(const Data &x,const Data &y)
{
Data ret;
ret.lrv = x.lrv+y.lrv;
ret.lv = max(x.lv,x.lrv+y.lv);
ret.rv = max(y.rv,x.rv+y.lrv);
ret.v = max(max(x.v,y.v),x.rv+y.lv);
return ret;
}
struct SegmentTree
{
struct SgTNode
{
Data x; llong tag;
} sgt[(N<<2)+3];
void maketag(int u,llong tag)
{
sgt[u].x.rv += tag; sgt[u].x.v += tag;
sgt[u].tag += tag;
}
void pushdown(int u)
{
llong tag = sgt[u].tag;
if(tag)
{
maketag(u<<1,tag); maketag(u<<1|1,tag);
sgt[u].tag = 0ll;
}
}
void upd(int u,int le,int ri,int pos)
{
if(le==ri) {int pos0 = idfn[pos]; sgt[u].x = Data(a[pos0]+sgt[u].tag+h[pos0],a[pos0]+h[pos0],a[pos0]+sgt[u].tag+h[pos0],a[pos0]); return;}
pushdown(u);
int mid = (le+ri)>>1;
if(pos<=mid) upd(u<<1,le,mid,pos);
else upd(u<<1|1,mid+1,ri,pos);
sgt[u].x = sgt[u<<1].x+sgt[u<<1|1].x;
}
void addb(int u,int le,int ri,int lb,int rb,llong x)
{
if(le>=lb && ri<=rb) {maketag(u,x); return;}
pushdown(u);
int mid = (le+ri)>>1;
if(lb<=mid) addb(u<<1,le,mid,lb,rb,x);
if(rb>mid) addb(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb,x);
sgt[u].x = sgt[u<<1].x+sgt[u<<1|1].x;
}
Data query(int u,int le,int ri,int lb,int rb)
{
if(le>=lb && ri<=rb) {return sgt[u].x;}
pushdown(u);
int mid = (le+ri)>>1; Data ret;
if(rb<=mid) ret = query(u<<1,le,mid,lb,rb);
else if(lb>mid) ret = query(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb);
else ret = query(u<<1,le,mid,lb,rb)+query(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb);
sgt[u].x = sgt[u<<1].x+sgt[u<<1|1].x;
return ret;
}
} sgt;
struct SegmentTree2
{
struct SgTNode
{
llong tag,mx;
} sgt[(N<<2)+3];
void maketag(int u,llong tag)
{
sgt[u].mx += tag; sgt[u].tag += tag;
}
void pushdown(int u)
{
llong tag = sgt[u].tag;
if(tag)
{
maketag(u<<1,tag); maketag(u<<1|1,tag);
sgt[u].tag = 0;
}
}
void add(int u,int le,int ri,int lb,int rb,llong x)
{
if(le>=lb && ri<=rb) {maketag(u,x); return;}
pushdown(u);
int mid = (le+ri)>>1;
if(lb<=mid) add(u<<1,le,mid,lb,rb,x);
if(rb>mid) add(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb,x);
sgt[u].mx = max(sgt[u<<1].mx,sgt[u<<1|1].mx);
}
llong query(int u,int le,int ri,int lb,int rb)
{
if(le>=lb && ri<=rb) {return sgt[u].mx;}
pushdown(u);
int mid = (le+ri)>>1; llong ret = 0ll;
if(lb<=mid) ret = max(ret,query(u<<1,le,mid,lb,rb));
if(rb>mid) ret = max(ret,query(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb));
sgt[u].mx = max(sgt[u<<1].mx,sgt[u<<1|1].mx);
return ret;
}
} sgt2;
void calcpath(int u)
{
int x = tpn[u],y = btn[u];
s.erase(hv[x]);
Data tmp = sgt.query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]); hv[x] = tmp.v;
llong tmp2 = sgt2.query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]); hv[x] = max(hv[x],tmp2);
s.insert(hv[x]);
}
void addvpath(int u,int v,llong w)
{
sgt.addb(1,1,n,dfn[u],dfn[v],w);
sgt2.add(1,1,n,dfn[u],dfn[v],w);
calcpath(u);
}
void addpath(int u0,int v0,llong w)
{
int u = u0,v = v0;
while(tpn[u]!=tpn[v])
{
if(dep[tpn[u]]>dep[tpn[v]]) {addvpath(tpn[u],u,w); u = fa[tpn[u]];}
else {addvpath(tpn[v],v,w); v = fa[tpn[v]];}
}
if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
if(u!=v) {addvpath(idfn[dfn[u]+1],v,w);}
a[u] += w; sgt.upd(1,1,n,dfn[u]); sgt2.add(1,1,n,dfn[u],dfn[u],w); calcpath(u);
int x = fa[tpn[u]];
while(x)
{
lt[x].erase(sa[tpn[u]]);
Data tmp = sgt.query(1,1,n,dfn[tpn[u]],dfn[btn[u]]); sa[tpn[u]] = tmp.lv;
lt[x].insert(sa[tpn[u]]);
llong tmp1 = h[x]; h[x] = lt[x].getmx(); sgt.upd(1,1,n,dfn[x]); sgt2.add(1,1,n,dfn[x],dfn[x],h[x]-tmp1);
if(ltn[x]>=2)
{
llong tmp2 = h2[x]; h2[x] = lt[x].getmx2();
sgt2.add(1,1,n,dfn[x],dfn[x],h2[x]-tmp2);
}
calcpath(x);
u = x; x = fa[tpn[x]];
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1; i<n; i++)
{
int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v); addedge(v,u);
}
dep[1] = 1; dfs1(1);
tpn[1] = 1; dfs2(1);
for(int i=1; i<=q; i++)
{
char opt[5]; scanf("%s",opt); int u,v,w;
if(opt[0]=='+') {scanf("%d%d%d",&qr[i].u,&qr[i].v,&qr[i].w); u = qr[i].u,v = qr[i].v,w = qr[i].w;}
else {int id; scanf("%d",&id); u = qr[id].u,v = qr[id].v,w = -qr[id].w;}
addpath(u,v,w);
printf("%lld\n",s.getmx());
}
return 0;
}