命题及常用的符号

由变量定义的命题，
该变量称为*变量因为给它一个值能产生一个命题。
例如集合生成器符：{x:x具有性质P}，表示为P（x）。
•其真值取决于x的值，它的真值集是x的真值集；
属性可能有多个*变量，描述遵循笛卡尔产品的方式，
表示为P（x，y，z）

通用量化：
如果属性对所有值都为true：
•表示为∀x P（x）

普遍量化的否定：
如果无值的属性为真：真值集必须是空集；
属性并非适用于所有值；
•表示为∀x ¬ P(x)

存在量化：
如果属性对某些值为真：
（真理集不能是空的）它被认为是存在的量化
表示为∃x P（x）

存在量化的否定：
如果属性对于某些值不为真：
真值集是宇宙的严格子集，可能是空集；这又是存在的量化；
表示为 ∃x ¬ P(x)

有界量化：
将量化限制在属性；
对于通用量化：
•写入∀x∈A P（x），
•等价于∀x（x∈A⇒P（x））；
•相当于∀x（A（x）⇒P（x））；
（其中A（x）是描述x到的条件的谓词集合A的元素。）
对于存在量化：
•写入∃x∈A P（x），
•等价于∃x（x∈A∧P（x））；
•相当于∃x（A（x）∧P（x））；

独特量化：
谓词对于一个元素是真的；存在量化的一种形式：
∃!x P（x）
相当于∃x∃x (P(x) ∧ ¬ ∃y(P(y) ∧ y ≠ x)).

总结

1.∃xP(x)
The existential quantifier always means “at least one”, which
means that there may be one or more of the specified thing in
existence.
2.∃!xP(x)
Sometimes, it may be useful to say that there is only one. In these
cases, an existential quantifier is written as ∃!, which means “there
exists exactly one
3.∀xP(x)
In predicate logic, a universal quantification is a type
of quantifier, which is interpreted as “for all”. It expresses
that a propositional function can be satisfied by every
member of a domain of discourse.
例子：
将 L(x) 设定为‘x likes Brussel sprouts’
∃xL(x)-----Someone likes brussels sprouts
∃x¬L(x)-----someone doesn’t like brussels sprouts
¬∃xL(x)-----everyone dislikes brussels sprouts
¬∃x¬L(x)----everyone likes brussels sprouts

∀xL(x)---- everyone likes brussels sprouts
∀x¬L(x)----everyone dislikes brussels sprouts
¬∀xL(x)----someone doesn’t like brussels sprouts
¬∀x¬L(x)----Someone likes brussels sprouts