根号算法

分块

数列分块入门九题（hzwer）

• 入门题1,2,3,4,5,7

问题：给一段区间打上标记后单点查询

解法：主要是每块维护一些标记，计算答案等，此类分块较为简单

注意：块大小一般为\(\sqrt n\)

复杂度：\(O(n\sqrt n)\)

• 入门题6

问题：每次朝数列中间插入一个元素，查询第k个元素是什么

解法：块大小超过一定值后暴力重构！采用链表实现

复杂度：\(O(n\sqrt n)\)

• 入门题8

问题：每次询问一个区间内为\(c​\)的元素个数，并把整个区间改为\(c​\)

解法：维护一个区间覆盖标记，如果块内没有标记就暴力修改

注意：复杂度分析要用到FlashHu的势能分析

势能（potential energy)是储存于一个系统内的能量，也可以释放或者转化为其他形式的能量。

把一个块搅乱，相当于给其增加\(O(\sqrt n)\)的势能，表示其再次被打上全局tag所需要的代价

每次操作最多把两个块搅乱，所以每次操作最多增加\(O(2\sqrt n)\)的势能，同时整理好一个块需要的代价是其势能，并能把其势能降为\(O(1)\)

这样子最多搅乱\(n\)个块，增加\(O(2n\sqrt n)\)的势能，最多把他们所有的势能都变成\(1\)，复杂度为\(O(4n\sqrt n)=O(n\sqrt n)\)

理解：增加势能需要相应代价，减少势能也需要相应代价，对应分析其最大势能即可得出复杂度

拓展：分析每次可以从栈中弹出多个元素的复杂度（还是\(O(n)\)，其总势能最大为\(O(n)\)）

• 入门题9

问题：在线维护区间最小众数

解法：离线就可以用莫队搞了

考虑分块，分块是一个很好的算法，维护每个数在数列中的前缀和是\(O(n^2)\)的时空复杂度，但是给分个块就可以做到\(O(n\sqrt n)\)了

一段区间的众数一定属于：A.零散块内的数 B.整块内的众数，一共数量不超过\(\sqrt n\)个

所以维护两个数组：\(f[i][j]\)表示从第\(i\)块到第\(j\)块的众数，这个可以\(O(\sqrt n\sqrt n\sqrt n)\)的预处理出来；\(g[i][j]\)表示离散化后的数字\(i\)在前\(j\)块中出现的次数，这个可以\(O(n)\)赋值后\(O(n\sqrt n)\)统计前缀和而得到

之后便只需要：A.统计每个数在整块内的出现个数\(O(1×\sqrt n)\) B.统计零散块中的数\(O(\sqrt n)\)

综上，复杂度为\(O(n\sqrt n)\)，完美通过此题/蒲公英

分块出过什么题

维护序列哈，支持一些在线的区间询问

• 区间tag单点查询、区间查询等等老掉牙的套路（但是考场上遇到维护序列的题这也是一种思想方式）

  ​

• 询问位置\(\%p=k\)的数的权值和，要求支持单点修改，\(val\le 1W,n\le 15W\)（哈希冲突）

对于\(p\le\sqrt n\)，维护\(s[p][k]\)表示答案，这个可以\(O(n\sqrt n)\)扫一遍得到答案

对于\(p>\sqrt n\)，可以开\(s[i][1k]\)表示第i块的桶，统计前缀和，然后暴力对\(\sqrt n\)的桶扫一遍

综上，复杂度为\(O(n\sqrt n)\)

• 求区间逆序对数，不修改，\(n\le 5W\)（Gty的妹子序列）

先预处理好\(s[i][j]\)表示从第\(i\)块的开头到\(j\)位置这一段区间产生的逆序对数，\(O(n\sqrt n logn)\)

然后查询时剩下的左半截用主席树暴力查询，\(O(n\sqrt nlogn)\)

• 单点修改，求最短前缀使得前缀\(gcd\)与前缀\(xor\)的乘积恰好为\(x\)，\(n\le 10W\)（公约数数列）

有一个奇妙的性质：一个数集的\(gcd\)在加入一个数后要么不变，要么至少\(/2\)。

对每一块维护一个gcd和、异或前缀和、Map(维护异或前缀和为x的位置)

然后修改就暴力重构该块\(O(n\sqrt nlogn)\)

查询就依次扫每一个块，如果这个块没有使得gcd减小，那么这个块内每一个位置的前缀gcd都相同，在Map中查找是否有符合条件的异或和即可；如果gcd减小了就暴力一个一个找，由于上面的性质暴力扫的块不会超过\(logn\)个。

总复杂度为\(O(n\sqrt nlogn)\)

• 无修改询问区间内数值\(\%p=k\)的元素个数，\(n\le 15W\)（考试9.20T3）

若\(p\le\sqrt n\)，对每块维护\(s[i][p][k]\)表示答案，然后边角暴力统计，\(O(n\sqrt n)\)

若\(p>\sqrt n\) ，对每块维护\(s[i][j]\)表示桶，然后做一个前缀和暴力查询，\(O(n\sqrt n)\)

简直傻逼我做不出真是太菜了

莫队

树莫队

有两种方法，一种是把树划分成若干块，然后暴力去移动其中一个端点；另一种是把树的欧拉序抠出来（像括号序列，每个点出现两次），转化为序列问题后再用序列莫队的方法。我学习的是拓展性更强的后者。两者都要用\(vis[i]\)表示i这个点选了没选，每次\(update\)就把\(vis[x]^=1\)

序列莫队

无修

对序列位置分块，每块大小为\(\sqrt n\)，将询问离线，按照左端点所在块为第一关键字，右端点为第二关键字排序，每次暴力移动转移，复杂度\(O(n\sqrt n)\)

带修

块大小为\(n^{\frac{2}{3}}\)，按照左端点所在块为第一关键字，右端点所在块为第二关键字，操作时间为第三关键字排序（所有排序都是从小到大），复杂度\(O(n^{\frac{5}{3}})\)

分治

序列分治

一般适用于：一组询问，对象是所有子区间的问题

把区间分治成为跨过中点的区间和左右分治

点分治

• 树上路径抠成序列后DP（有结合律），可以采用点分治实现（牛客Wannafly24C网址）

  实现方式：把询问挂链，分治的时候，把分治区域的\(rt\)都设置为分治中心，同时给不同子树标个不同的\(Tag\)（同一子树相同）。每到一个结点便扫一遍询问，当询问的另一个点也在同样的分治区域，并且\(Tag\)不同，便计算贡献。

  这样能够保证不重不漏地计算所有的贡献，复杂度为\(O(nlogn*DP)\)，为点分治×DP的复杂度（询问只会被扫log次）

倍增

并查集倍增

[SCOI2016]萌萌哒 对区间的每个点一一对应连并查集