bsgs问题 或 poj2417：

给定质数\(p\)，给定\(a\),\(b\),\((a,p)=1\)

求出最小的整数x，使得\(a^{x}≡b(mod p)\)

概述

由费马小定理可以知道

\(a^{x+p-1}≡a^{x}≡b(mod p)\)

所以如果有解那\([0,p-1]\)区间内一定会出现解

让\(m=sqrt(p)\)

\(x\)可以表示为\(m*i-j\)

那\(m,i,j\)都是在根号规模的

\(a^{m*i-j}≡b(mod p)\)

\(\frac{a^{m*i}}{a^{j}}≡b(mod p)\)

\(a^{m*i}≡b*a^{j}(mod p)\)

右边\(hash\)表（一般都用stl的map）存在所有的j取值

左边暴力枚举i(因为是-j，所以从1枚举，要不然就成负数了，找出来的就不一定是最小解)

如果\(a^{m*i}\)在hash表中存在，那就有解，也是最小解，结束吧

如果根号范围内还没有解，那就真的没解

算法思想：分块

算法缺陷：p是质数

算法复杂度\(\sqrt{n}\)

\(map\)常数也许很高

代码

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <map>

#include <cstdio>

#define ll long long

using namespace std;

ll a,b,p;

map<ll,ll> hasH;

int main() {

	while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b)!=EOF) {

		ll m=floor(sqrt(p));

		hasH.clear();

		ll tmp=1;

		hasH[b]=1;

		for(ll i=1;i<=m;++i) tmp=tmp*a%p,hasH[tmp*b%p]=i+1;

		ll xx=tmp,i=1,ans=-1;

		for(;i<=m;++i) {

			if(hasH[xx]) {ans=m*i%p-(hasH[xx]-1);break;}

			xx=xx*tmp%p;

		}

		if(ans==-1) puts("no solution");

		else printf("%d\n",ans);

	}

	return 0;

}

exbsgs

咕咕咕咕

鸣谢 \(gzy gzy gzy\)