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微积分是建立在 极限、无穷小、连续性 等等概念的基础上的，所以要学会微积分，就要先理解这些概念。
从 无穷大、无穷小 到 极限；从 极限 到 连续；从 连续 到 导数；从 导数 到 微分；从 微分 到 积分 — 自学微积分卡壳，一般是在【极限】的概念开始的，主要是因为脑子没有换成“动态的数学脑子”，还是静态地看问题。
极限：静态的理论难以解释动态的现实，所以需要动态的理论
微积分的思想是 分割、以直代曲、近似求和取极限。
比如，求一个曲边梯形面积：
使用微积分的思想，用矩形的直线代曲：
n
n
n 越大，梯形内的矩形越多，以直代曲的数值就越精确：
当
Δ
x
\Delta x
Δx 无限接近0时，矩形的面积和就与曲线下的面积相等，这种计算算法被称为“微积分”。
- 微分： Δ x \Delta x Δx 无限接近0时，微小的矩形面积。
- 积分：把无数这样微小矩形的面积加起来
但什么是 Δ x \Delta x Δx 无限接近0？牛顿、莱布尼茨说的是到头…数学，你用语文定义～
在定义什么是 “ Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0”时，遇到了真正的困难：
- Δ x \Delta x Δx无限接近于 0 0 0，但 Δ x ≠ 0 \Delta x\ne 0 Δx=0， 否则以 0 0 0为底边长的矩形面积为 0 0 0，无穷多个 0 0 0相加仍然为 0 0 0
- Δ x \Delta x Δx无限接近于 0 0 0，又必须最接近 0 0 0， 不可能有什么实数比 Δ x \Delta x Δx更接近于 0 0 0
- Δ x \Delta x Δx最接近于 0 0 0，所以 Δ x \Delta x Δx一定不能为实数，否则 Δ x 2 \displaystyle\frac{\Delta x}{2} 2Δx就会比 Δ x \Delta x Δx更接近于 0 0 0
这个问题最早由柯西解决，虽然柯西的定义也不严格，但他的思路是完全准确的。
牛顿、莱布尼茨对 Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0的描述是以无穷小代替的（不能再小的数）。
柯西、魏尔斯特拉斯比牛顿、莱布尼茨进步的地方在于，他们把无穷小这个概念从过去人们理解的小得不能再小的数，看成了一个动态变化，往零这个点靠近的趋势 — 从初等数学到高等数学，就是要把看数学的眼光，从一个个静态的数字、孤立的公式，上升到动态变化的趋势。
举个例子，数列： 1 + ( − 1 ) n − 1 n 1+\frac{(-1)^{n-1}}{n} 1+n(−1)n−1
观察 n − > ∞ n -> ∞ n−>∞ 时的变化趋势：
发现越来越趋近
1
1
1，但一定不是
1
1
1，只是无限接近。
所以，柯西说这个数列的极限是 1 1 1。
但是，魏尔斯特拉斯却说还不够精确。
魏尔斯特拉斯肯定了柯西的极限是关于一个无限逼近的趋势的观点，但是在描述无限逼近的方法上，他采用了逆向思维。
-
魏尔斯特拉斯：误差多么小算是趋近了？
-
柯西：总得小于一亿分之一吧。
-
魏尔斯特拉斯：但只要 N N N 大于一亿分之一，这个数列和 1 1 1的差距就小于一亿分之一了。
-
柯西：那小于 1 0 100000000000000000000000000 10^{100000000000000000000000000} 10100000000000000000000000000 吧。
-
魏尔斯特拉斯：但只要 N N N 大于 1 0 100000000000000000000000000 10^{100000000000000000000000000} 10100000000000000000000000000 ，这个数列和 1 1 1的差距就小于 1 0 100000000000000000000000000 10^{100000000000000000000000000} 10100000000000000000000000000 了。
-
柯西：… …
-
魏尔斯特拉斯：不管您说的数多么接近，都能做到，这就是无限逼近。
所以，魏尔斯特拉斯对【极限】的描述是这样的：
- 任意给一个小的数字
ϵ
\epsilon
ϵ（猜数字，比如一亿分之一），如果总能找到一个数字
M
M
M（比如，一亿），当
N
N
N 比
M
M
M 大之后，上面的数列 与
2
2
2 的差距小于
ϵ
\epsilon
ϵ。
用几何图形解释一下，魏尔斯特拉斯大概是这么考虑的。
比如说有这么一个数列，猜测某实数 L L L为它的极限，用一根平行 x x x轴的虚线表示：
随便给一个正实数
ϵ
\epsilon
ϵ，以
L
L
L为中心做一个区间(绿色区间)，此时只有有限个点在此区间外(红点)：
随着正实数
ϵ
\epsilon
ϵ的缩小（也就是越来越逼近
L
L
L），始终只有有限个点在此区间外：
如果
L
L
L猜测错了，随着正实数
ϵ
\epsilon
ϵ的缩小，会有无数个点在此区间外：
这就是逆向思维定义的极限：
- 极限 L L L是猜测的（后面会系统地说如何去猜）
- 正实数 ϵ \epsilon ϵ是任取的，目的是去逼近 L L L
数列极限：ε-N 语言
魏尔斯特拉斯数列极限的定义： lim n → ∞ x n = L \lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_{n}=L n→∞limxn=L，数列 a n a_{n} an 在 n − > ∞ n->∞ n−>∞ 中收敛，极限值是 L L L。
按照逆向思维定义的极限，以下的式子也等同于数列极限：
- ∀ ϵ > 0 ∃ N ∀ n [ n > N ⇒ ∣ x n − L ∣ < ϵ ] \forall \epsilon >0 ~~\exists N~~\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix} ∀ϵ>0 ∃N ∀n[n>N⇒∣∣xn−L∣∣<ϵ]
这个式子有点复杂，理解复杂式子的方法：【拆分】是理解的第一步。
引入了，两个逻辑符号：
- ∀ \forall ∀ 代表任意
- ∃ \exists ∃ 代表存在
为了明确他们的有效范围，我们画一些大括号：
- ∀ ϵ > 0 [ ∃ N [ ∀ n [ n > N ⇒ ∣ x n − L ∣ < ϵ ] ] ] \forall \epsilon >0 ~~\Bigg[\exists N~~\bigg[\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix}\bigg]\Bigg] ∀ϵ>0 [∃N [∀n[n>N⇒∣∣xn−L∣∣<ϵ]]]
而后，从左往后一个个分析：
-
∀ ϵ > 0 [ ] \forall \epsilon >0\left [ ~~ \right ] ∀ϵ>0[ ] 的白话文：对于任意正数 ϵ \epsilon ϵ
-
∀ ϵ > 0 [ ∃ N [ . . . ] \forall \epsilon >0\left [ ~~\exists N ~~\right[~~...~~] ∀ϵ>0[ ∃N [ ... ] 的白话文：都存在某个自然数 N N N
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∀ ϵ > 0 [ ∃ N [ ∀ n [ . . . ] ] ] \forall \epsilon >0\left [ ~~\exists N ~~\left [ ~~\forall n~~\left [ ~~ ...~~\right ]~\right ]~\right] ∀ϵ>0[ ∃N [ ∀n [ ... ] ] ] 的白话文：使得 … 对任意自然数 n n n 都成立。
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∀ ϵ > 0 [ ∃ N [ ∀ n [ n > N ⇒ ∣ x n − L ∣ < ϵ ] ] ] \forall \epsilon >0 ~~\Bigg[\exists N~~\bigg[\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix}\bigg]\Bigg] ∀ϵ>0 [∃N [∀n[n>N⇒∣∣xn−L∣∣<ϵ]]] 的白话文：对于任意正数 ϵ \epsilon ϵ，给每个 ϵ \epsilon ϵ都选定某个合适的自然数 N N N，使得命题 [ n > N ⇒ ∣ x n − L ∣ < ϵ ~n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon~ n>N⇒∣∣xn−L∣∣<ϵ ] ，对任意自然数 n n n 都成立。
-
n > N ⇒ ∣ a n − L ∣ < ϵ n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon n>N⇒∣∣an−L∣∣<ϵ 的白话文：若 n n n 大于 N N N，则点 a n a_{n} an 在点的 ϵ \epsilon ϵ 邻域里。
数列极限的定义： ∀ ϵ > 0 ⟹ ∃ N \forall \epsilon > 0\implies \exists N ∀ϵ>0⟹∃N
因为是先确定 ϵ \epsilon ϵ，而后才能确定 N N N，所以根据这个顺序，数列极限的定义也被称为 ϵ − N \color{Salmon}{\epsilon-N} ϵ−N语言。
简单的说：不管是多窄的 ϵ \epsilon ϵ邻域，只要根据 ϵ \epsilon ϵ 丢掉开头的前 N N N 项，就能把剩下的所有项一股脑的放进 ϵ \epsilon ϵ 的邻域里。
收敛数列的性质：
- 有界性：小于某个数（收敛数列必定有界）
- 唯一性：只有一个极限
- 保号性：极限值大于（小于）0，数列从大N开始，也会满足大于（小于）0
- 收敛数列与其子数列间的关系：数列收敛于a，那子数列也收敛于a
到这里，我们就彻底理解了 — 什么是 “ Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0”。
- Δ x \Delta x Δx 就是数列通项 a n = b − a n a_{n} = \frac{b-a}{n} an=nb−a
- Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0，就是 lim n → ∞ Δ x = 0 \lim_{n\rightarrow \infty }\Delta x=0 limn→∞Δx=0
根据数列极限的定义，可以完美解决之前的困难：
我们可以知道了数列极限的定义，就可以用定义证明数列的极限。
虽然数列极限的定义，但并未给出求极限的方法。
函数极限：ε-δ 语言
数列的极限： lim n → ∞ x n = L \lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_{n}=L n→∞limxn=L，数列 a n a_{n} an 在 n − > ∞ n->∞ n−>∞ 中收敛，极限值是 L L L。
函数的极限： lim n → a f ( x ) = L \lim\limits_{n \rightarrow a}f(x)=L n→alimf(x)=L，函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 n − > a n->a n−>a 中收敛，极限值是 L L L。
逆向定义的等价式子：
- ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 ∀ x [ 0 < ∣ a − x ∣ < δ ⇒ ∣ L − f ( x ) ∣ < ϵ ] \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0~~\forall x \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] ∀ϵ>0 ∃δ>0 ∀x[0<∣∣a−x∣∣<δ⇒∣∣L−f(x)∣∣<ϵ]
拆解，是理解复杂式子的唯一方法：
- ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon >0 ∀ϵ>0 的白话文：对于任意正数 ϵ \epsilon ϵ
- ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0 ∀ϵ>0 ∃δ>0 的白话文：都存在某个正数 δ \delta δ
- ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 ∀ x \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0~~\forall x ∀ϵ>0 ∃δ>0 ∀x 的白话文：使得 ··· 对任意 x x x 都成立
- ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 ∀ x [ 0 < ∣ a − x ∣ < δ ⇒ ∣ L − f ( x ) ∣ < ϵ ] \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0~~\forall x \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] ∀ϵ>0 ∃δ>0 ∀x[0<∣∣a−x∣∣<δ⇒∣∣L−f(x)∣∣<ϵ] 的白话文：对于任意正数 ϵ \epsilon ϵ，给每个都选定合适的正数 δ \delta δ，使得命题 [ 0 < ∣ a − x ∣ < δ ⇒ ∣ L − f ( x ) ∣ < ϵ ] \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] [0<∣∣a−x∣∣<δ⇒∣∣L−f(x)∣∣<ϵ] 对于任意 x x x 都成立。
- 0 < ∣ a − x ∣ < δ 0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta 0<∣∣a−x∣∣<δ，注意不是 ϵ \epsilon ϵ 邻域，而是 δ \delta δ 邻域。
- [ 0 < ∣ a − x ∣ < δ ⇒ ∣ L − f ( x ) ∣ < ϵ ] \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] [0<∣∣a−x∣∣<δ⇒∣∣L−f(x)∣∣<ϵ] 的白话文：若 x x x 在 a a a 的 δ \delta δ 邻域里，且 x ≠ a x \neq a x=a，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 A A A 的 ϵ \epsilon ϵ 邻域。
函数极限出现了俩个邻域，不管 ϵ \epsilon ϵ 邻域有多小，都会存在某个 δ \delta δ，满足【如果把 x x x 放在 a a a 的去心 δ \delta δ 邻域里，那 f ( x ) f(x) f(x) 就在 A A A 的 ϵ \epsilon ϵ 邻域里】。
映射到几何模型上：《如何能更好的理解（ε-δ）语言极限的定义？》。