题目链接

https://atcoder.jp/contests/agc038/tasks/agc038_f

题解

好题。
首先观察到一个性质，对于排列\(P\), 其所形成的每个轮换中的点\(A_i\)是选\(i\)还是选\(P_i\)的状态必须相同。\(Q_i\)同理。
然后转化成最小化\(A_i=B_i\)的位置\(i\)数量。
考虑\(A_i=B_i\)的条件:

(1) \(P_i=Q_i=i\), 则此位置无用，\(A_i=B_i\)一定满足。

(2) \(P_i=i, Q_i\ne i\), 则\(A_i=B_i\)等价于\(B_i=i\).

(3) \(P_i\ne i, Q_i=i\), 则\(A_i=B_i\)等价于\(A_i=i\).

(4) \(P_i=Q_i\ne i\), 则\(A_i=B_i\)等价于\(A_i\)和\(B_i\)选的状态(即是\(i\)还是\(P_i\)或\(Q_i\))不同。

(5) \(P_i\ne Q_i\ne i\), 则\(A_i=B_i\)等价于\(A_i=i\)且\(B_i=i\).

那么我们可以从中观察到一个集合划分模型: 把所有点划分为\(S,T\)两个集合，设\(A_i=i\)表示\(A_i\)在\(S\)集，\(A_i=P_i\)表示\(A_i\)在\(T\)集，\(B_i=i\)表示\(i\)在\(T\)集，\(B_i=Q_i\)表示\(i\)在\(S\)集。那么上述条件就可以转化为:
对每个位置\(i\):

(1) \(P_i=Q_i\), 则此位置无用，一定要花费\(1\)的代价。

(2) \(P_i=i, Q_i\ne i\), 则如果\(B_i\)在\(T\)集需要花费\(1\)的代价。

(3) \(P_i\ne i, Q_i=i\), 则如果\(A_i\)在\(S\)集需要花费\(1\)的代价。

(4) \(P_i=Q_i\ne i\), 则如果\(A_i\)和\(B_i\)在不同的集合要花费\(1\)的代价。

(5) \(P_i\ne Q_i\ne i\), 则如果\(A_i\)在\(S\)集且\(B_i\)在\(T\)集需要花费\(1\)的代价。

于是，给每个轮换建立一个点，再对每个\(i\)分类讨论，将其所对应的轮换连边即可。
由于建出来的图是二分图，且边权都是\(1\), 故时间复杂度\(O(n\sqrt n)\).

我写完之后一直TLE, 最后发现居然是我写了两年的当前弧优化一直是个假的……挂了38发真的是很无语……

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int INF = 1e7;

namespace NetFlow
{
    const int N = 2e5+2;
    const int M = 4e5;
    struct Edge
    {
        int v,w,nxt,rev;
    } e[(M<<1)+3];
    int fe[N+3];
    int te[N+3];
    int dep[N+3];
    int que[N+3];
    int n,en,s,t;
    void addedge(int u,int v,int w)
    {
//      printf("addedge %d %d %d\n",u,v,w);
        en++; e[en].v = v; e[en].w = w;
        e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en; e[en].rev = en+1;
        en++; e[en].v = u; e[en].w = 0;
        e[en].nxt = fe[v]; fe[v] = en; e[en].rev = en-1;
    }
    bool bfs()
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) dep[i] = 0;
        int head = 1,tail = 1; que[1] = s; dep[s] = 1;
        while(head<=tail)
        {
            int u = que[head]; head++;
            for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
            {
                int v = e[i].v;
                if(e[i].w>0 && dep[v]==0)
                {
                    dep[v] = dep[u]+1;
                    if(v==t)return true;
                    tail++; que[tail] = v;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    int dfs(int u,int cur)
    {
        if(u==t||cur==0) {return cur;}
        int rst = cur;
        for(int &i=te[u]; i; i=e[i].nxt)
        {
            int v = e[i].v;
            if(e[i].w>0 && rst>0 && dep[v]==dep[u]+1)
            {
                int flow = dfs(v,min(rst,e[i].w));
                if(flow>0)
                {
                    e[i].w -= flow; 
                    rst -= flow;
                    e[e[i].rev].w += flow;
                    if(rst==0) {return cur;}
                }
            }
        }
        if(rst==cur) {dep[u] = -2;}
        return cur-rst;
    }
    int dinic(int _n,int _s,int _t)
    {
        n = _n,s = _s,t = _t;
        int ret = 0;
        while(bfs())
        {
            for(int i=1; i<=n; i++) te[i] = fe[i];
            memcpy(te,fe,sizeof(int)*(n+1));
            ret += dfs(s,INF);
        }
        return ret;
    }
}
using NetFlow::addedge;
using NetFlow::dinic;

const int N = 1e5;
int a[N+3],b[N+3];
int ca[N+3],cb[N+3];
int n,cnta,cntb;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]++;
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&b[i]),b[i]++;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(!ca[i])
        {
            cnta++;
            int x = i;
            do
            {
                ca[x] = cnta;
                x = a[x];
            } while(x!=i);
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(!cb[i])
        {
            cntb++;
            int x = i;
            do
            {
                cb[x] = cntb;
                x = b[x];
            } while(x!=i);
        }
    }
//  printf("ca: "); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",ca[i]); puts("");
//  printf("cb: "); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",cb[i]); puts("");
    int ans = n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(a[i]==i && b[i]==i) {ans--;}
        else if(a[i]==i) {addedge(1,cb[i]+cnta+2,1);}
        else if(b[i]==i) {addedge(ca[i]+2,2,1);}
        else
        {
            addedge(ca[i]+2,cb[i]+cnta+2,1);
            if(a[i]==b[i]) {addedge(cb[i]+cnta+2,ca[i]+2,1);}
        }
    }
    ans -= dinic(2+cnta+cntb,1,2);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}