普利姆(Prim)算法
1. 最小生成树（又名：最小权重生成树）
概念：将给出的所有点连接起来（即从一个点可到任意一个点），且连接路径之和最小的图叫最小生成树。最小生成树属于一种树形结构（树形结构是一种特殊的图），或者说是直链型结构，因为当n个点相连，且路径和最短，那么将它们相连的路一定是n-1条。
可以利用参考一个问题理解最小生成树，有n个村庄，每个村庄之间距离不同，要求村庄之间修路，每一个村庄必须与任意一个村庄联通，如何修路最省钱（修的最短）。
2. 普利姆算法介绍
利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
具体过程如下：
(1)设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
(2)若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
(3)若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
(4)重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
3.图例描述
4.Prime代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<iostream>
using namespace std; #define n 20
#define MaxNum 10000 /*定义一个最大整数*/ /*定义邻接矩阵类型*/
typedef int adjmatrix[n + 1][n + 1];
typedef struct {
int fromvex, tovex; //生成树的起点和终点
int weight; //边的权重
} Edge;
typedef Edge *EdgeNode; //定义生成树的别名
int arcnum; /*边的个数*/ /*建立图的邻接矩阵*/
void CreatMatrix(adjmatrix GA) {
int i, j, k, e;
cout<<"============================="<<endl;
cout<<"图中有"<<n<<"个顶点 "<<endl;
for(i=1; i<=n; i++) {
for(j=1; j<=n; j++) {
if(i==j) {
GA[i][j]=0; /*对角线的值置为0*/
} else {
GA[i][j]=MaxNum; /*其他位置的值置初始化为一个最大整数*/
}
}
}
cout<<"请输入边的个数"<<endl;
cin>>arcnum;
cout<<"请输入边的信息，依照起点，终点，权值的形式输入："<<endl;
for(k=1; k<=arcnum; k++) {
cin>>i>>j>>e; /*读入边的信息*/
GA[i][j]=e;
GA[j][i]=e;
}
} /*初始化图的边集数组*/
void InitEdge(EdgeNode GE,int m) {
int i;
for(i=1; i<=m; i++) {
GE[i].weight=0;
}
} /*依据图的邻接矩阵生成图的边集数组*/
void GetEdgeSet(adjmatrix GA,EdgeNode GE) {
int i, j, k = 1;
for(i=1; i<=n; i++) {
for(j=i+1; j<=n; j++) {
if(GA[i][j] !=0 && GA[i][j] != MaxNum) {
GE[k].fromvex = i;
GE[k].tovex = j;
GE[k].weight = GA[i][j];
k++;
}
}
}
} /*按升序排列图的边集数组*/
void SortEdge(EdgeNode GE,int m) {
int i,j,k;
Edge temp;
for(i=1; i<m; i++) {
k=i;
for(j=i+1; j<=m; j++) {
if(GE[k].weight > GE[j].weight) {
k=j;
}
}
if(k!=i) {
temp = GE[i];
GE[i]=GE[k];
GE[k]=temp;
}
}
} /*利用普里姆算法从初始点v出发求邻接矩阵表示的图的最小生成树*/
void Prim(adjmatrix GA,EdgeNode T) {
int i,j,k,min,u,m,w;
Edge temp;
/*给T赋初值。相应为v1依次到其余各顶点的边*/
k=1;
for(i=1; i<=n; i++) {
if(i!=1) {
T[k].fromvex=1;
T[k].tovex=i;
T[k].weight=GA[1][i];
k++;
}
}
/*进行n-1次循环，每次求出最小生成树中的第k条边*/
for(k=1; k<n; k++) {
min=MaxNum;
m=k;
for(j=k; j<n; j++) {
if(T[j].weight<min) {
min=T[j].weight;
m=j;
}
}
/*把最短边对调到k-1下标位置*/ //可用swap替换
temp=T[k];
T[k]=T[m];
T[m]=temp;
/*把新增加最小生成树T中的顶点序号赋给j*/
j=T[k].tovex;
/*改动有关边，使T中到T外的每个顶点保持一条到眼下为止最短的边*/
for(i=k+1; i<n; i++) {
u=T[i].tovex;
w=GA[j][u];
if(w<T[i].weight) {
T[i].weight=w;
T[i].fromvex=j;
}
}
}
} /*输出边集数组的每条边*/
void OutEdge(EdgeNode GE,int e) {
int i;
printf("依照起点，终点。权值的形式输出的最小生成树为：\n");
for(i=1; i<=e; i++) {
printf("%d,%d,%d\n",GE[i].fromvex,GE[i].tovex,GE[i].weight);
}
printf("=============================\n");
} int main() {
adjmatrix GA;
Edge GE[n*(n-1)/2], T[n];
CreatMatrix(GA);
InitEdge(GE,arcnum);
GetEdgeSet(GA,GE);
SortEdge(GE,arcnum);
Prim(GA,T);
printf("\n");
OutEdge(T,n-1);
return 0;
}