#5. 【NOI2014】动物园
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题目连接
http://uoj.ac/problem/5
Description
园长：“对于一个字符串S它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中，它本身除外，最长的长度记作 next[i]。”
园长:“非常好,那你能举个例子吗?”
熊猫:“例如S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 next[1] = next[2] = next[3] = 0, next[4] = next[6] = 1, next[7] = 2, next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组——对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4]=2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’。但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1]=0,num[2]=num[3]=1,num[5]=2。”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了。但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？
特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出 ∏Li=1(num[i]+1)对1000000007取模的结果即可。
其中∏ni=1(num[i]+1)=(num[1]+1)×(num[2]+1)×⋯×(num[n]+1)。
现在你想知道你从家出发到高考考场最少需要花多长时间。
Input
表示测试数据的组数。 随后n行，每行描述一组测试数据。
每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S，中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。
Output
输出文件应包含n行
每行描述一组测试数据的答案
答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对1000000007取模的结果。
输出文件中不应包含多余的空行
Sample Input
3
aaaaa
ab
abcababc
Sample Output
36
1
32
HINT
n,m≤105 q≤105
题意
题解：
kmp算法的灵活运用
考察的算法是KMP的next数组的灵活运用和倍增思想。
因为next数组的定义是某个前缀的 前缀的后缀，也是s的前缀。满足这一条件的 前缀的后缀 的最长长度是多少。
如果没有“重叠”的限制的话，那么原问题就相当于求沿next指针上跳的层数，dp即可。
如果加上了重叠的限制呢？
那么就要沿着next指针上跳，找到第一个位置j，满足j + j < i（这里的编号是从0到n-1），那么往上跳的所有层数都是满足条件的。
如何找到这个位置？
显然暴力的跳会超时，那么我们可以参照倍增思想，记f[i][j]为从位置j沿next指针往上跳2^i次到达的位置，沿f数组上溯即可。
代码：
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <queue>
#include <typeinfo>
#include <fstream>
#include <map>
#include <stack>
typedef long long ll;
using namespace std;
//freopen("D.in","r",stdin);
//freopen("D.out","w",stdout);
#define sspeed ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)
#define test freopen("test.txt","r",stdin)
#define maxn 1000010
#define mod 1000000007
#define eps 1e-6
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll infll = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
inline ll read()
{
ll x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
//************************************************************************************** ll ans=;
char s[maxn];
int nex[maxn],fail[maxn];
void kmp()
{
int n=strlen(s+);
int j=;
nex[]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
while(s[j+]!=s[i]&&j)
j=fail[j];
if(s[j+]==s[i])
j++;
fail[i]=j;
nex[i]=nex[j]+;
}
j=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
while(s[j+]!=s[i]&&j)
j=fail[j];
if(s[j+]==s[i])
j++;
while((j<<)>i&&j)
j=fail[j];
ans=(ans*(nex[j]+))%mod;
}
}
int main()
{
int t=read();
while(t--)
{
ans=;
scanf("%s",s+);
kmp();
int n=strlen(s+);
for(int i=;i<=n;i++)
cout<<nex[i]<<" ";
cout<<endl;
for(int i=;i<=n;i++)
cout<<fail[i]<<" ";
cout<<endl;
cout<<ans<<endl;
}
}