在强化学习(十三) 策略梯度(Policy Gradient)中，我们讲到了基于策略(Policy Based)的强化学习方法的基本思路，并讨论了蒙特卡罗策略梯度reinforce算法。但是由于该算法需要完整的状态序列，同时单独对策略函数进行迭代更新，不太容易收敛。
在本篇我们讨论策略(Policy Based)和价值(Value Based)相结合的方法：Actor-Critic算法。
本文主要参考了Sutton的强化学习书第13章和UCL强化学习讲义的第7讲。
1. Actor-Critic算法简介
Actor-Critic从名字上看包括两部分，演员(Actor)和评价者(Critic)。其中Actor使用我们上一节讲到的策略函数，负责生成动作(Action)并和环境交互。而Critic使用我们之前讲到了的价值函数，负责评估Actor的表现，并指导Actor下一阶段的动作。
回想我们上一篇的策略梯度，策略函数就是我们的Actor，但是那里是没有Critic的，我们当时使用了蒙特卡罗法来计算每一步的价值部分替代了Critic的功能，但是场景比较受限。因此现在我们使用类似DQN中用的价值函数来替代蒙特卡罗法，作为一个比较通用的Critic。
也就是说在Actor-Critic算法中，我们需要做两组近似，第一组是策略函数的近似：$$\pi_{\theta}(s,a) = P(a|s,\theta)\approx \pi(a|s)$$
第二组是价值函数的近似，对于状态价值和动作价值函数分别是：$$\hat{v}(s, w) \approx v_{\pi}(s)$$$$\hat{q}(s,a,w) \approx q_{\pi}(s,a)$$
对于我们上一节讲到的蒙特卡罗策略梯度reinforce算法，我们需要进行改造才能变成Actor-Critic算法。
首先，在蒙特卡罗策略梯度reinforce算法中，我们的策略的参数更新公式是：$$\theta = \theta + \alpha \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(s_t,a_t) v_t$$
梯度更新部分中，$\nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(s_t,a_t) $是我们的分值函数，不用动，要变成Actor的话改动的是$v_t$，这块不能再使用蒙特卡罗法来得到，而应该从Critic得到。
而对于Critic来说，这块是新的，不过我们完全可以参考之前DQN的做法，即用一个Q网络来做为Critic, 这个Q网络的输入可以是状态，而输出是每个动作的价值或者最优动作的价值。
现在我们汇总来说，就是Critic通过Q网络计算状态的最优价值$v_t$, 而Actor利用$v_t$这个最优价值迭代更新策略函数的参数$\theta$,进而选择动作，并得到反馈和新的状态，Critic使用反馈和新的状态更新Q网络参数$w$, 在后面Critic会使用新的网络参数$w$来帮Actor计算状态的最优价值$v_t$。
2. Actor-Critic算法可选形式
在上一节我们已经对Actor-Critic算法的流程做了一个初步的总结，不过有一个可以注意的点就是，我们对于Critic评估的点选择是和上一篇策略梯度一样的状态价值$v_t$,实际上，我们还可以选择很多其他的指标来做为Critic的评估点。而目前可以使用的Actor-Critic评估点主要有：
a) 基于状态价值：这是我们上一节使用的评估点，这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：$$\theta = \theta + \alpha \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(s_t,a_t) V(s,w)$$
b) 基于动作价值：在DQN中，我们一般使用的都是动作价值函数Q来做价值评估，这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：$$\theta = \theta + \alpha \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(s_t,a_t) Q(s,a,w)$$
c) 基于TD误差：在强化学习（五）用时序差分法（TD）求解中，我们讲到了TD误差，它的表达式是$\delta(t) = R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) -V(S_t)$或者$\delta(t) = R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1}，A_{t+1} ) -Q(S_t,A_t)$, 这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：$$\theta = \theta + \alpha \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(s_t,a_t)\delta(t)$$
d) 基于优势函数：在强化学习(十二) Dueling DQN中，我们讲到过优势函数A的定义：$A(S,A,w,\beta) = Q(S,A, w, \alpha, \beta) - V(S,w,\alpha) $,即动作价值函数和状态价值函数的差值。这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：$$\theta = \theta + \alpha \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(s_t,a_t)A(S,A,w,\beta)$$
e) 基于TD($\lambda$)误差：一般都是基于后向TD($\lambda$)误差, 在强化学习（五）用时序差分法（TD）求解中也有讲到，是TD误差和效用迹E的乘积。这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：$$\theta = \theta + \alpha \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(s_t,a_t)\delta(t)E_(t)$$
对于Critic本身的模型参数$w$，一般都是使用均方误差损失函数来做做迭代更新，类似之前DQN系列中所讲的迭代方法. 如果我们使用的是最简单的线性Q函数，比如$Q(s,a ,w) = \phi(s,a)^Tw$,则Critic本身的模型参数$w$的更新公式可以表示为：$$\delta = R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1}，A_{t+1} ) -Q(S_t,A_t)$$$$w = w+ \beta\delta\phi(s,a)$$
通过对均方误差损失函数求导可以很容易的得到上式。当然实际应用中，我们一般不使用线性Q函数，而使用神经网络表示状态和Q值的关系。
3. Actor-Critic算法流程
这里给一个Actor-Critic算法的流程总结，评估点基于TD误差，Critic使用神经网络来计算TD误差并更新网络参数，Actor也使用神经网络来更新网络参数
算法输入：迭代轮数$T$，状态特征维度$n$, 动作集$A$, 步长$\alpha,\beta$，衰减因子$\gamma$, 探索率$\epsilon$, Critic网络结构和Actor网络结构。
输出：Actor 网络参数$\theta$, Critic网络参数$w$
1. 随机初始化所有的状态和动作对应的价值$Q$. 随机初始化Critic网络的所有参数$w$。随机初始化Actor网络的所有参数$\theta$。
2. for i from 1 to T，进行迭代。
a) 初始化S为当前状态序列的第一个状态, 拿到其特征向量$\phi(S)$
b) 在Actor网络中使用$\phi(S)$作为输入，输出动作$A$,基于动作$A$得到新的状态$S'$,反馈$R$。
c) 在Critic网络中分别使用$\phi(S)， \phi(S‘’)$作为输入，得到Q值输出$V(S)， V(S’)$
d) 计算TD误差$\delta = R +\gamma V(S’) -V(S) $
e) 使用均方差损失函数$\sum\limits(R +\gamma V(S’) -V(S,w))^2$作Critic网络参数$w$的梯度更新
f) 更新Actor网络参数$\theta$:$$\theta = \theta + \alpha \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(S_t,A)\delta$$
对于Actor的分值函数$\nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(S_t,A)$,可以选择softmax或者高斯分值函数。
上述Actor-Critic算法已经是一个很好的算法框架，但是离实际应用还比较远。主要原因是这里有两个神经网络，都需要梯度更新，而且互相依赖。但是了解这个算法过程后，其他基于Actor-Critic的算法就好理解了。
4. Actor-Critic算法实例
下面我们用一个具体的例子来演示上面的Actor-Critic算法。仍然使用了OpenAI Gym中的CartPole-v0游戏来作为我们算法应用。CartPole-v0游戏的介绍参见这里。它比较简单，基本要求就是控制下面的cart移动使连接在上面的pole保持垂直不倒。这个任务只有两个离散动作，要么向左用力，要么向右用力。而state状态就是这个cart的位置和速度， pole的角度和角速度，4维的特征。坚持到200分的奖励则为过关。
算法流程可以参考上面的第三节，这里的分值函数我们使用的是softmax函数，和上一片的类似。完整的代码参见我的Github：https://github.com/ljpzzz/machinelearning/blob/master/reinforcement-learning/actor_critic.py
代码主要分为两部分，第一部分是Actor，第二部分是Critic。对于Actor部分，大家可以和上一篇策略梯度的代码对比，改动并不大，主要区别在于梯度更新部分，策略梯度使用是蒙特卡罗法计算出的价值$v(t)$,则我们的actor使用的是TD误差。
在策略梯度部分，对应的位置如下：
self.loss = tf.reduce_mean(self.neg_log_prob * self.tf_vt) # reward guided loss
而我们的Actor对应的位置的代码是：
self.exp = tf.reduce_mean(self.neg_log_prob * self.td_error)
此处要注意的是，由于使用的是TD误差，而不是价值$v(t)$,此处需要最大化self.exp,而不是最小化它，这点和策略梯度不同。对应的Actor代码为：
#这里需要最大化当前策略的价值，因此需要最大化self.exp,即最小化-self.exp
self.train_op = tf.train.AdamOptimizer(LEARNING_RATE).minimize(-self.exp)
除此之外，Actor部分的代码和策略梯度的代码区别并不大。
对于Critic部分，我们使用了类似于DQN的三层神经网络。不过我们简化了这个网络的输出，只有一维输出值，而不是之前DQN使用的有多少个可选动作，就有多少维输出值。网络结构如下：
def create_Q_network(self):
# network weights
W1q = self.weight_variable([self.state_dim, 20])
b1q = self.bias_variable([20])
W2q = self.weight_variable([20, ])
b2q = self.bias_variable([])
self.state_input = tf.placeholder(tf.float32, [1, self.state_dim], "state")
# hidden layers
h_layerq = tf.nn.relu(tf.matmul(self.state_input, W1q) + b1q)
# Q Value layer
self.Q_value = tf.matmul(h_layerq, W2q) + b2q
和之前的DQN相比，这里还有一个区别就是我们的critic没有使用DQN的经验回放，只是使用了反馈和当前网络在下一个状态的输出来拟合当前状态。
对于算法中Actor和Critic交互的逻辑，在main函数中：
for step in range(STEP):
action = actor.choose_action(state) # e-greedy action for train
next_state,reward,done,_ = env.step(action)
td_error = critic.train_Q_network(state, reward, next_state) # gradient = grad[r + gamma * V(s_) - V(s)]
actor.learn(state, action, td_error) # true_gradient = grad[logPi(s,a) * td_error]
state = next_state
if done:
break
大家对照第三节的算法流程和代码应该可以比较容易理清这个过程。但是这个程序很难收敛。因此大家跑了后发现分数总是很低的话是可以理解的。我们需要优化这个问题。
5. Actor-Critic算法小结
基本版的Actor-Critic算法虽然思路很好，但是由于难收敛的原因，还需要做改进。
目前改进的比较好的有两个经典算法，一个是DDPG算法，使用了双Actor神经网络和双Critic神经网络的方法来改善收敛性。这个方法我们在从DQN到Nature DQN的过程中已经用过一次了。另一个是A3C算法，使用了多线程的方式，一个主线程负责更新Actor和Critic的参数，多个辅线程负责分别和环境交互，得到梯度更新值，汇总更新主线程的参数。而所有的辅线程会定期从主线程更新网络参数。这些辅线程起到了类似DQN中经验回放的作用，但是效果更好。
在后面的文章中，我们会继续讨论DDPG和A3C。
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