9.2、Sparse Coding稀疏编码

如果我们把输出必须和输入相等的限制放松，同时利用线性代数中基的概念，即O = a₁*Φ₁ + a₂*Φ₂+….+ a_n*Φ_n， Φ_i是基，a_i是系数，我们可以得到这样一个优化问题：

Min |I – O|，其中I表示输入，O表示输出。

通过求解这个最优化式子，我们可以求得系数a_i和基Φ_i，这些系数和基就是输入的另外一种近似表达。

因此，它们可以用来表达输入I，这个过程也是自动学习得到的。如果我们在上述式子上加上L1的Regularity限制，得到：

Min |I – O| + u*(|a₁| + |a₂| + … + |a_n |)

这种方法被称为Sparse Coding。通俗的说，就是将一个信号表示为一组基的线性组合，而且要求只需要较少的几个基就可以将信号表示出来。“稀疏性”定义为：只有很少的几个非零元素或只有很少的几个远大于零的元素。要求系数 a_i 是稀疏的意思就是说：对于一组输入向量，我们只想有尽可能少的几个系数远大于零。选择使用具有稀疏性的分量来表示我们的输入数据是有原因的，因为绝大多数 的感官数据，比如自然图像，可以被表示成少量基本元素的叠加，在图像中这些基本元素可以是面或者线。同时，比如与初级视觉皮层的类比过程也因此得到了提升 （人脑有大量的神经元，但对于某些图像或者边缘只有很少的神经元兴奋，其他都处于抑制状态）。

稀疏编码算法是一种无监督学习方法，它用来寻找一组“超完备”基向量来更高效地表示样本数据。虽然形如主成分分析技术（PCA）能使我们方便地找到一组 “完备”基向量，但是这里我们想要做的是找到一组“超完备”基向量来表示输入向量（也就是说，基向量的个数比输入向量的维数要大）。超完备基的好处是它们 能更有效地找出隐含在输入数据内部的结构与模式。然而，对于超完备基来说，系数a_i不再由输入向量唯一确定。因此，在稀疏编码算法中，我们另加了一个评判标准“稀疏性”来解决因超完备而导致的退化（degeneracy）问题。（详细过程请参考：UFLDL Tutorial稀疏编码）

比 如在图像的Feature Extraction的最底层要做Edge Detector的生成，那么这里的工作就是从Natural Images中randomly选取一些小patch，通过这些patch生成能够描述他们的“基”，也就是右边的8*8=64个basis组成的 basis，然后给定一个test patch, 我们可以按照上面的式子通过basis的线性组合得到，而sparse matrix就是a，下图中的a中有64个维度，其中非零项只有3个，故称“sparse”。

这 里可能大家会有疑问，为什么把底层作为Edge Detector呢？上层又是什么呢？这里做个简单解释大家就会明白，之所以是Edge Detector是因为不同方向的Edge就能够描述出整幅图像，所以不同方向的Edge自然就是图像的basis了……而上一层的basis组合的结 果，上上层又是上一层的组合basis……（就是上面第四部分的时候咱们说的那样）

Sparse coding分为两个部分：

1）Training阶段：给定一系列的样本图片[x1, x 2, …]，我们需要学习得到一组基[Φ1, Φ2, …]，也就是字典。

稀疏编码是k-means算法的变体，其训练过程也差不多（EM算法的思想：如果要优化的目标函数包含两个变量，如L(W, B)，那么我们可以先固定W，调整B使得L最小，然后再固定B，调整W使L最小，这样迭代交替，不断将L推向最小值。EM算法可以见我的博客：“从最大似然到EM算法浅解”）。

训练过程就是一个重复迭代的过程，按上面所说，我们交替的更改a和Φ使得下面这个目标函数最小。

每次迭代分两步：

a）固定字典Φ[k]，然后调整a[k]，使得上式，即目标函数最小（即解LASSO问题）。

b）然后固定住a [k]，调整Φ [k]，使得上式，即目标函数最小（即解凸QP问题）。

不断迭代，直至收敛。这样就可以得到一组可以良好表示这一系列x的基，也就是字典。

2）Coding阶段：给定一个新的图片x，由上面得到的字典，通过解一个LASSO问题得到稀疏向量a。这个稀疏向量就是这个输入向量x的一个稀疏表达了。

例如：