设σ是n维欧式空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价

1.σ是正交变换

2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨

3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基

4.σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵

正交矩阵

分类

 Matlab傅立叶变换、余弦变换和小波变换

1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现

Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法；而函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则用来计算反 DFT 。这些函数的调用格式如下：
A＝fft(X,N,DIM)
其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果 X 小于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为 N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。

A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)
其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进行零填充后的 X 大小。别可以实现一维、二维和 N 维 DFT

A＝fftn(X,SIZE)
其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定 X 相应维进行零填充后的长度。

函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。
别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
例子：图像的二维傅立叶频谱

1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现% 读入原始图像
I＝imread('lena.bmp');
imshow(I)
% 求离散傅立叶频谱
J=fftshift(fft2(I));
figure;别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
imshow(log(abs(J)),[8,10])

2. 离散余弦变换的 Matlab 实现

2.1. dct2 函数
功能：二维 DCT 变换 Matlab
格式：B=dct2(A)
B=dct2(A,m,n)
B=dct2(A,[m,n])函数 fft、fft2 和 fftn 分
说明：B＝dct2(A) 计算 A 的 DCT 变换 B ，A 与 B 的大小相同；B＝dct2(A,m,n) 和 B=dct2(A,[m,n]) 通过对 A 补 0 或剪裁，使 B 的大小为 m×n。

2.2. dict2 函数
功能：DCT 反变换
格式：B=idct2(A)
B=idct2(A,m,n)别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
B=idct2(A,[m,n])
说明：B＝idct2(A) 计算 A 的 DCT 反变换 B ，A 与 B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和 B=idct2(A,[m,n]) 通过对 A 补 0 或剪裁，使 B 的大小为 m×n。
Matlab
2.3. dctmtx函数
功能：计算 DCT 变换矩阵
格式：D＝dctmtx(n)
说明：D＝dctmtx(n) 返回一个 n×n 的 DCT 变换矩阵，输出矩阵 D 为 double 类型。

3. 图像小波变换的 Matlab 实现函数

3.1 一维小波变换的 Matlab 实现
(1) dwt 函数 Matlab
功能：一维离散小波变换
格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname')
[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。
(2) idwt 函数
功能：一维离散小波反变换
格式：X=idwt(cA,cD,'wname')
X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)
X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数
X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)
说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。
'wname' 为所选的小波函数
X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。
X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。
1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现

3.2 二维小波变换的 Matlab 实现

二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
dwt2 二维离散小波变换
wavedec2 二维信号的多层小波分解
idwt2 二维离散小波反变换 Matlab
waverec2 二维信号的多层小波重构
wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号
upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量
appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量
upwlev2 二维小波分解的单层重构1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
dwtpet2 二维周期小波变换
idwtper2 二维周期小波反变换

(1) wcodemat 函数
功能：对数据矩阵进行伪彩色编码
格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)
Y=wcodemat(X,NB,OPT)
Y=wcodemat(X,NB)
Y=wcodemat(X)
说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵 Y ；NB 伪编码的最大值，即编码范围为 0～NB，缺省值 NB＝16；
OPT 指定了编码的方式（缺省值为 'mat'），即：别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
OPT＝'row' ，按行编码
OPT＝'col' ，按列编码
OPT＝'mat' ，按整个矩阵编码
ABSOL 是函数的控制参数（缺省值为 '1'），即：
ABSOL＝0 时，返回编码矩阵
ABSOL＝1 时，返回数据矩阵的绝对值 ABS(X)1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现

(2) dwt2 函数
功能：二维离散小波变换
格式：[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'wname')
[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)
说明：[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'wname')使用指定的小波基函数 'wname' 对二维信号 X 进行二维离散小波变幻；cA，cH,cV,cD 分别为近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角细节分量；[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X 。1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现

(3) wavedec2 函数
功能：二维信号的多层小波分解1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
格式：[C,S]=wavedec2(X,N,'wname')
[C,S]=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)
说明：[C,S]=wavedec2(X,N,'wname') 使用小波基函数 'wname' 对二维信号 X 进行 N 层分解；[C,S]=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X 。别可以实现一维、二维和 N 维 DFT

(4) idwt2 函数
功能：二维离散小波反变换
格式：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname')
X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)
X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname',S)别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)
说明：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname') 由信号小波分解的近似信号 cA 和细节信号 cH、cH、cV、cD 经小波反变换重构原信号 X ；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) 使用指定的重构低通和高通滤波器 Lo_R 和 Hi_R 重构原信号 X ；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,'wname',S) 和 X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S) 返回中心附近的 S 个数据点。

(5) waverec2 函数
说明：二维信号的多层小波重构
格式：X=waverec2(C,S,'wname')
X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R)
说明：X=waverec2(C,S,'wname') 由多层二维小波分解的结果 C、S 重构原始信号 X ，'wname' 为使用的小波基函数；X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 使用重构低通和高通滤波器 Lo_R 和 Hi_R 重构原信号。

Allnodes 计算树结点
　 appcoef 提取一维小波变换低频系数
　 appcoef2 提取二维小波分解低频系数
　 bestlevt 计算完整最佳小波包树 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 besttree 计算最佳(优)树
*　 biorfilt 双正交样条小波滤波器组
　 biorwavf 双正交样条小波滤波器 Matlab
*　 centfrq 求小波中心频率
　 cgauwavf Complex Gaussian小波
　 cmorwavf coiflets小波滤波器 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 cwt 一维连续小波变换
　 dbaux Daubechies小波滤波器计算
　 dbwavf Daubechies小波滤波器 dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准
　 depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式
　 detcoef 提取一维小波变换高频系数 Matlab
　 detcoef2 提取二维小波分解高频系数
　 disp 显示文本或矩阵
　 drawtree 画小波包分解树(GUI) 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 dtree 构造DTREE类
　 dwt 单尺度一维离散小波变换
　 dwt2 单尺度二维离散小波变换 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 dwtmode 离散小波变换拓展模式
*　 dyaddown 二元取样
*　 dyadup 二元插值 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 entrupd 更新小波包的熵值
　 fbspwavf B样条小波
　 gauswavf Gaussian小波 Matlab
　 get 获取对象属性值
　 idwt 单尺度一维离散小波逆变换
　 idwt2 单尺度二维离散小波逆变换
　 ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式
*　 intwave 积分小波数
　 isnode 判断结点是否存在 Matlab
　 istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值
　 iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换
　 iswt2 二维逆SWT变换 Matlab
　 leaves 　 Determine terminal nodes
　 mexihat 墨西哥帽小波
　 meyer Meyer小波 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 meyeraux Meyer小波辅助函数
　 morlet Morlet小波
　 nodease 计算上溯结点
　 nodedesc 计算下溯结点(子结点)
　 nodejoin 重组结点
　 nodepar 寻找父结点 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 nodesplt 分割(分解)结点
　 noleaves 　 Determine nonterminal nodes
　 ntnode 　 Number of terminal nodes函数 fft、fft2 和 fftn 分
　 ntree 　 Constructor for the class NTREE
*　 orthfilt 正交小波滤波器组
　 plot 绘制向量或矩阵的图形
*　 qmf 镜像二次滤波器
　 rbiowavf 　 Reverse biorthogonal spline wavelet filters
　 read 读取二进制数据
　 readtree 读取小波包分解树
*　 scal2frq 　 Scale to frequency
　 set 　 Matlab
　 shanwavf 　 Shannon wavelets
　 swt 一维SWT(Stationary Wavelet Transform)变换
　 swt2 二维SWT变换
　 symaux 　 Symlet wavelet filter computation.
　 symwavf Symlets小波滤波器
　 thselect 信号消噪的阈值选择
　 thodes 　 References
　 treedpth 求树的深度
　 treeord 求树结构的叉数
　 upcoef 一维小波分解系数的直接重构
　 upcoef2 二维小波分解系数的直接重构
　 upwlev 单尺度一维小波分解的重构
　 upwlev2 单尺度二维小波分解的重构
　 wavedec 单尺度一维小波分解
　 wavedec2 多尺度二维小波分解 Matlab
　 wavedemo 小波工具箱函数demo
*　 wavefun 小波函数和尺度函数
*　 wavefun2 二维小波函数和尺度函数 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 wavemenu 小波工具箱函数menu图形界面调用函数
*　 wavemngr 小波管理函数
　 waverec 多尺度一维小波重构 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 waverec2 多尺度二维小波重构
　 wbmpen 　 Penalized threshold for wavelet 1-D or 2-D de-noising
　 wcodemat 对矩阵进行量化编码 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 wdcbm 　 Thresholds for wavelet 1-D using Birge-Massart strategy
　 wdcbm2 　Thresholds for wavelet 2-D using Birge-Massart strategy
　 wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩
　 wdencmp 　De-noising or compression using wavelets
　 wentropy 计算小波包的熵
　 wextend 　Extend a vector or a matrix
*　 wfilters 小波滤波器
　 wkeep 提取向量或矩阵中的一部分
*　 wmaxlev 计算小波分解的最大尺度 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 wnoise 产生含噪声的测试函数数据
　 wnoisest 估计一维小波的系数的标准偏差
　 wp2wtree 从小波包树中提取小波树 　1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 wpcoef 计算小波包系数
　 wpcutree 剪切小波包分解树
　 wpdec 一维小波包的分解
　 wpdec2 二维小波包的分解
　 wpdencmp 用小波包进行信号的消噪或压缩
　 wpfun 小波包函数
wpjoin 　重组小波包
　 wprcoef 小波包分解系数的重构
　 wprec 一维小波包分解的重构 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 wprec2 二维小波包分解的重构
　 wpsplt 分割（分解）小波包
　 wpthcoef 进行小波包分解系数的阈值处理
　 wptree 　显示小波包树结构
　 wpviewcf 　 Plot the colored wavelet packet coefficients.
　 wrcoef 对一维小波系数进行单支重构 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT
　 wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构
　 wrev 向量逆序
　 write 向缓冲区内存写进数据
　 wtbo 　 Constructor for the class WTBO
　 wthcoef 一维信号的小波系数阈值处理
　 wthcoef2 二维信号的小波系数阈值处理 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现
　 wthresh 进行软阈值或硬阈值处理
　 wthrmngr 阈值设置管理
　 wtreemgr 管理树结构 Matlab

1. cwt函数

函数功能：实现一维连续小波变换的函数。
   语法格式：   COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname')
                COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot')
                COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname',  'PLOTMODE')
                COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE', XLIM)
   使用说明：cwt为一维小波变换的函数。

格式  COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname')  采用'wname'小波，在正、实尺度SCALES下计算向量一维小波系数。
   格式  COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot')  除了计算小波系数外，还加以图形显示。
   格式  COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname',  'PLOTMODE')  计算并画出连续小波变换的系数，并使用PLOTMODE对图形着色。
   格式 COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot')  相当于  格式 COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE')  中的语法 COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname',  'absglb')
   格式  COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE', XLIM) 能够计算并画出连续小波变换的系数。系数使用PLOTMODE和XLIM进行着色。其中：XLIM=[x1,x2]，并且有如下关系：1<=x1<=x2<=length(S)。
                
            MODE值                                                 含义
               'lvl'                                           scale-by-scale着色模式
              'glb'                                          考虑所有尺度的着色模式
       'abslvl'或'lvlabs'                                使用系数绝对值的scale-by-scale着色模式
      'absglb'或'glbabs'                              使用系数绝对值并考虑所有尺度的着色模式

例子：cwt函数的应用举例
            t=linspace(-1:1:512);
            s=1-abs(t);
            c=cwt(s,1:32,'cgau4');
            c=cwt(s,[64 32 16:-2:2]);
            c=cwt(s,[3 18 12.9 7 1.5],'db2');
            c=cwt(s,1:64,'sym4','abslvl',[100:400]);

2.pat2cwav函数

函数功能：由模式构造小波。
   语法格式：[PSI,XVAL,NC] = pat2cwav(YPAT, METHOD, POLDEGREE, REGULARITY)
   使用说明：该函数计算由XVAL和PSI给定并用于连续小波变换的小波函数，该小波向量YPAT定义的模式构造，方差为1。其中模式隐含的x值是xpat=linspace(0,1,length(YPAT))。
   常数NC的选取应保证通过以下方式的最小二乘拟合，NC*PSI在区间[0,1]上近似于YPAT：
   当METHD等于'polynomial'时，为POLDEGREE多项式；
   当METHD等于'othconst'时，为正交函数空间的投影；
   参数REGULARITY定义了在0点和1点的边界约束，可以是'continuous'，'differentiable'或'none'。
   当METHOD为'polynomial'时：
   当REGULARITY等于'continuous'，则必须POLDEGREE>=3；
   当REGULARITY等于'differentiable'，则必须POLDEGREE>=5。