回忆
级联高斯
——用较小的高斯重复卷积来模拟较大的高斯卷积的效果。
结合律
例子：级联卷积
帕斯卡三角形
Aside: Binomial Approximation
旁白：二项式近似
n = 一维滤波器元素个数-1
r = 滤波卷积核元素所在的位置 (0, 1, 2, …)
观察帕斯卡三角形的奇数行
[1 2 1]/4 近似 sigma=1/sqrt(2) 的高斯分布
[1 4 6 4 1]/16 近似 sigma=1 的高斯分布
一种生成整数系数高斯分布近似的简便方法
关于级联卷积的更多信息
两个随机变量之和 X+Y 的分布是其两个分布的卷积
给定N个独立分布的随机变量：X1…XN，其和的分布接近高斯分布（即中心极限定理）
因此：（非负）滤波器与自身的重复卷积呈高斯形状。
回忆：在不同尺度上的高斯平滑
今天的概念：形成一个多分辨率的表示方法
金字塔 (Pyramid) 表示法
因为大量的平滑 (smoothing，实际上就是低通滤波) 限制了图像中特征的频率，所以我们不需要保留所有像素！
策略：当我们使用平滑越来越多时，逐步减少像素的数量。
如果我们在每一个层上进行子抽样，就会得到一个“金字塔”表示。
高斯金字塔
合成：用高斯算子平滑图像以及进行下采样。重复平滑和下采样。
使用高斯是因为它是自再现的（能够增量平滑）。
顶层是不需要处理的 (for free)。处理代价通常由两个最低层（最高分辨率层）控制。
强调：图像越小，分辨率越低
生成高斯金字塔
基本函数：
Blur (卷积高斯来平滑图像，之前已经讨论过了)
DownSample (将图像大小减少一半)
Upsample (将图像大小增大一倍)
下采样
顺便说一句：除非你之前对图像进行了模糊/平滑处理，否则子采样是个坏主意！（因为它会导致混叠效应aliasing）
详细说明：缩略图
下采样 (左边) vs 先平滑再下采样 (右边)
下采样 (左边) vs 先平滑再下采样 (右边)
下采样 (左边) vs 先平滑再下采样 (右边)
上采样
如何填补空值？
插值：
- 将空像素初始化设为0
- 用高斯滤波器卷积上采样图像！（比如，sigma为1的5*5卷积核）
- 必须要乘以4
具体例子
来自 Crowley et.al., “Fast Computation of Characteristic Scale using a Half-Octave Pyramid.” Proc International Workshop
on Cognitive Vision (CogVis), Zurich, Switzerland, 2002.
总体思路：使用[1 4 6 4 1] 卷积核进行级联滤波，以生成每octave两个图像的金字塔（分辨率变化两次）。当我们达到一个完整的octave时，对图像进行下采样。
每层有效的Sigma
概念：尺度空间
基本思想：不同的尺度适合描述图像中的不同对象，我们可能无法提前知道正确的尺度/大小。