实验目的：
用Matlab实现LU分解和列主元消去法求解线性方程组
实验要求：
1. 给出LU分解算法和列主元消去法算法
2. 用Matlab实现LU分解
3. 用Matlab实现列主元消去法
实验内容：
用LU分解及列主元消去法解线性方程组
输出 Ax=b 中系数 A=LU分解的矩阵L及U，解向量x及detA；列主元法的行交换次序，解向量x及detA；比较两种方法所得的结果。
实验步骤：
代码：
1 %LU分解算法
2 %输入：矩阵A和向量b
3 %输出：det和自变量的值
4 function [det,x,y,l,u]=LU(A,b)
5 [m,n]=size(A);
6 %输入的A与b的行数与列数的限制
7 if m~=n
8 disp('输入错误，系数矩证阵只能是方阵');
9 end
10 if n~=length (b)
11 disp('输入错误，常数项的个数应与方程的个数相同');
12 end
13 for k=1:n-1%主行循环
14 for i=k+1:n
15 A(i,k)=A(i,k)/A(k,k);
16 for j=k+1:n
17 A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j);
18 end
19 end
20 end
21 l=eye(n);
22 u=zeros(n,n);
23 for i=1:n
24 for j=1:n
25 if j<i
26 l(i,j)=A(i,j);
27 else
28 u(i,j)=A(i,j);
29 end
30 end
31 end
32
33 y(1)=b(1);
34 for k=2:n
35 s=0;
36 for j=1:k-1
37 s=s+l(k,j)*y(j);
38 end
39 y(k)=b(k)-s;
40 end
41 x(n)=y(n)/u(n,n);
42 for k=n-1:-1:1
43 s=0;
44 for j=k+1:n
45 s=s+u(k,j)*x(j);
46 end
47 x(k)=(y(k)-s)/u(k,k);
48 end
49 det=1;
50 for i=1:n
51 det=det*u(i,i);
52 end
53 end
LU
求解示例：
2.列主元消去法算法（该算法来源于：C.Jiang老师）：
代码：
1 %列主元消去算法，求自变量和系数行列式的值
2 %输入：系数矩阵和因变量，也就是Ax=b,中的A和b
3 %输出：自变量x和系数行列式det
4 function [z,det]=liezhu(A,b)
5 %行列式det初始值为1
6 det=1;
7 [m,n]=size(A);
8 %输入的A与b的行数与列数的限制
9 if m~=n
10 disp('输入错误，系数矩证阵只能是方阵');
11 end
12 if n~=length (b)
13 disp('输入错误，常数项的个数应与方程的个数相同');
14 end
15 %对于k=1,2,...,n-1，对A扫描
16 for k=1:n-1
17 %按列选主元
18 p=A(k,k);%记忆当前值
19 I=k;
20 for i=k:n
21 if abs(A(i,k)) > abs(p)%按行扫描该列的最大值
22 end
23 end
24 if I~=k%换行使当前主元绝对值最大
25 for j=k:n
26 w=A(k,j);%记忆当前主元所在行
27 A(k,j)=A(I,j);%换行
28 A(I,j)=w;%换行
29 end
30 %并且把b同时换行
31 u=b(k);
32 b(k)=b(I);
33 b(I)=u;
34 end
35 %如果得到的最大绝对值是0，则结束程序
36 if A(i,k)==0
37 det=0;
38 end
39 %消元计算
40 for i= k+1:n
41 %对于i=k+1,...,n
42 A(i,k)=A(i,k)/A(k,k);
43 b(i)=b(i)-A(i,k)*b(k);
44 for j=k+1:n
45 %对于j=k+1,...,n
46 A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j);
47 end
48 end
49 %算行列式
50 det=A(k,k)*det;
51 end
52 %如果最后一个主元等于0，则停止计算。并使行列式等于0
53 if A(n,n)==0
54 det=0;
55 end
56 %回代求解
57 b(n)=b(n)/A(n,n);
58 %对于i=n-1,...,2,1
59 for i=(n-1):-1:1
60 w=0;
61 %得到一个累加值
62 for j=(i+1):n
63 w=w+A(i,j)*b(j);
64 end
65 %求得bi
66 b(i)=(b(i)-w)/A(i,i);
67 end
68 %行列式的值
69 det=det*A(n,n);
70 z=b;
71 end
liezhu
运行：
小结：
就本例子而言，二者在求得的x和det没有差别。在编写数学类的程序时，务必熟识所用到的数学知识。（文中代码均为zlc所写）