无穷集合

集合的比较 ： \(=\) ，\(\le\) \(\quad\quad\) 工具：\(function\)

Definition: 集合等势

\(\vert A \vert = \vert B \vert \Leftrightarrow \exists f:A \to B( f \text{ is bijective})\)
note: 等势是一个具有等价性质的概念。

Definition ：无穷和有穷

\(X\text{ is finite}\Leftarrow \exists n \in \mathbb{N}.\vert X \vert = \vert n \vert = \vert \{0,1,2,....,n-1\}\vert\)

\(X\text{ is infinite}\Leftarrow \forall n \in \mathbb{N}.\vert X \vert != \vert n \vert\)

\(Theorem(\text{Existence of infinite sets})\)

\(\mathbb{N}\text{ is infinite}(\text{easily proved by contradiction.})\)
\(\vert \mathbb{N}\vert = \aleph_0\)

Definition：可数无穷

\(X \text{ is countably infinite} \Leftrightarrow \vert X \vert = \aleph_0\)

Definition:可数

\(X \text{ is countable} \Leftrightarrow X \text{ is finite or countably infinite.}\)

\(Theorem:\vert \mathbb{R}\vert != \aleph_0(\text{无穷也是不一样大的})\)

Proved by diagonal argument.

Definition: \(\le\)

\(\vert A \vert \le \vert B \vert \Leftarrow \exists f:A \to B(f \text{ is injective.})\)

Theorem:可数的另一种证明方式

\(X \text{ is countable.} \Leftrightarrow \vert X \vert \le \aleph_0\)

一些证明技巧和用到的定理

证明集合等势

用到的定理：Cantor-Schroder-Bernstein 定理:如果存在\(f:A \to B \text{ and }g:B \to A\),且它们都是单射，那么一定存在 \(h:A \to B\) 是双射。

2种方法：

1. 在两个集合之间构造或者找到一个双射。
2. 利用 Cantor-Schroder-Bernstein 定理，在两个集合之间构造或者找到两个单射(两个方向的).
3. 证明过程中也可以利用集合等势的等价性对目标做一些转移。

证明集合不等势

用到的定理: Cantor 定理：\(\vert A \vert \lt \vert \mathcal{P}(A) \vert\)

1. 证明不等号一边的集合的幂集和另一边的集合等势，这样就证明了两个集合不等势。
2. 或者转移到其他常见的集合。

常见的集合的势

\(\vert \mathbb{R} \vert = \vert \mathbb{R}^n \vert = \vert [0,1] \vert = 2^{\aleph_0}\)

\(\vert \mathbb{N}\vert = \vert \mathbb{Z} \vert = \vert \mathbb{Q} \vert = \aleph_0\)