博弈论基础知识: 巴什博奕+斐波那契博弈+威佐夫博奕+尼姆博弈(及Staircase)(转)

(一)巴什博奕(Bash Game):
只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个.最后取光者得胜.
若(m+1) | n,则先手必败,否则先手必胜。
显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜.因此我们发
现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿
走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜.总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜.

(二)斐波那契博弈(Fibonacci Nim)

有一堆个数为n(n>=2)的石子,游戏双方轮流取石子,规则如下:

1)先手不能在第一次把所有的石子取完,至少取1颗;

2)之后每次可以取的石子数至少为1,至多为对手刚取的石子数的2倍。

约定取走最后一个石子的人为赢家,求必败态。

结论:当n为Fibonacci数的时候,必败。

f[i]:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……

用第二数学归纳法证明:

为了方便,我们将n记为f[i]。

1、当i=2时,先手只能取1颗,显然必败,结论成立。

2、假设当i<=k时,结论成立。

则当i=k+1时,f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆,简称k堆和k-1堆。

(一定可以看成两堆,因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1],则后手可以直接取完f[k],因为f[k] < 2*f[k-1])

对于k-1堆,由假设可知,不论先手怎样取,后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3,则这小堆所剩的石子数小于2y,即后手可以直接取完,此时x=f[k-1]-y,则x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小,对两值作差后不难得出,后者大。

所以我们得到,x<1/2*f[k]。

即后手取完k-1堆后,先手不能一下取完k堆,所以游戏规则没有改变,则由假设可知,对于k堆,后手仍能取到最后一颗,所以后手必胜。

即i=k+1时,结论依然成立。

那么,当n不是Fibonacci数的时候,情况又是怎样的呢?

这里需要借助“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

关于这个定理的证明,感兴趣的同学可以在网上搜索相关资料,这里不再详述。

分解的时候,要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85:85在55和89之间,于是可以写成85=55+30,然后继续分解30,30在21和34之间,所以可以写成30=21+9,

依此类推,最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。(a1>a2>……>ap)

我们令先手先取完f[ap],即最小的这一堆。由于各个f之间不连续,则a(p-1) > ap  + 1,则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆,且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏(只有f[a(p-1)]这一堆石子,且后手先取)的必败态,即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知,对于以后的每一堆,先手都可以取到这一堆的最后一颗石子,从而获得游戏的胜利。

(三)威佐夫博奕(Wythoff Game):
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.
奇异局势下先手必败,非奇异局势下先手必胜。
这种情况下是颇为复杂的.我们用(ak,bk)(ak ≤bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经
输了,这种局势我们称为奇异局势.前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质:
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中.
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立.
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势.
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势.如果使(ak,bk)的两
个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势.
3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势.
假设面对的局势是(a,b),若b = a,则同时从两堆中取走a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物
体,即变为奇异局势;如果a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak)
;如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从
第二堆里面拿走b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走b - aj 即可.
从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜.
那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
ak =[k(1+√5)/2](下取整), bk= ak + k (k∈N)
奇妙的是其中出现了有关黄金分割数的式子:(1+√5)/2 =1.618...,若两堆物品个数分别为x,y(x<y),则k=y-x,再判断x是否等于[(y
-x)*( √5+1)/2] 即可得知是否是奇异局势。
参考例题:POJ1067取石子游戏
参考代码:
var a,b:longint;begin repeat readln(a,b); if a>b then begin a:=a xor b; b:=a xor b; a:=a xor b; end; if a=trunc((b-a)*(sqrt(5)+1)/2) then writeln(0) else writeln(1); until seekeof;end.
(四)尼姆博奕(Nimm Game):
有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.
这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失
败.第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0).仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如
何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形.
计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号xor表示这种运算.这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0.先看
(1,2,3)的按位模2加的结果:
1 =二进制01
Xor 2 =二进制10
Xor 3 =二进制11 
———————
0 =二进制00 
对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0.
任何奇异局势(a,b,c)都有a xor b xor c =0。该结论可以推广至若干堆,都是成立的。
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设a < b< c,我们只要将c 变为a xor b,即可,因为有如下的运算
结果: a xor b xor (a xor b)=(a xor a) xor (b xor b)=0 xor 0=0.要将c 变为a xor b,只要从c中减去c-(a xor b)即可.
(五)Nim Staircase博奕:
这个问题是尼姆博弈的拓展:游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上,共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时
可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作,将最后一枚硬币移至地上(0号)的人获胜。
算法:将奇数楼层的状态异或,和为0则先手必败,否则先手必胜。证明略。
例题:Poj1704
这道题可以把两个棋子中间间隔的空格子个数作为一堆石子,则原题转化为每次可以把左边的一堆石子移到相邻的右边的一堆中。也就
是阶梯尼姆博弈,注意对输入数据先排序,然后倒着往前数(a[n]-a[n-1]-1为第一个),奇数个数到的就做一下xor,其中最前面的看
做a[1]-0-1,参考程序:
var t,n,b,i,j:longint; a:array[0..1000]of longint;begin readln(t); repeat dec(t); readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); qsort(1,n);//快排略 j:=0; b:=0; for i:=n downto 1 do begin inc(j); if odd(j) then b:=b xor (a[i]-a[i-1]-1); end; if b=0 then writeln('Bob will win') else writeln('Georgia will win'); until t=0;end.

源地址:http://tieba.baidu.com/p/1474319443

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6842b59101017sx7.html

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