计算距离的数学公式
欧几里德距离（Euclidean Distance）
最初用于计算欧几里德空间中两个点的距离，假设 x，y 是 n 维空间的两个点，它们之间的欧几里德距离是：
可以看出，当 n=2 时，欧几里德距离就是平面上两个点的距离。
当用欧几里德距离表示相似度，一般采用以下公式进行转换：距离越小，相似度越大
皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）
皮尔逊相关系数一般用于计算两个定距变量间联系的紧密程度，它的取值在 [-1，+1] 之间。
sx, sy是 x 和 y 的样品标准偏差。
Cosine 相似度（Cosine Similarity）
Cosine 相似度被广泛应用于计算文档数据的相似度：
Tanimoto 系数（Tanimoto Coefficient）
Tanimoto 系数也称为 Jaccard 系数，是 Cosine 相似度的扩展，也多用于计算文档数据的相似度：
相似邻居的计算
介绍完相似度的计算方法，下面我们看看如何根据相似度找到用户-物品的邻居，常用的挑选邻居的原则可以分为两类：
1.固定数量的邻居：K-neighborhoods 或者 Fix-size neighborhoods
不论邻居的“远近”，只取最近的 K 个，作为其邻居。
如下图中的 A，假设要计算点 1 的 5- 邻居，那么根据点之间的距离，我们取最近的 5 个点，分别是点 2，点 3，点 4，点 7 和点 5。但很明显我们可以看出，这种方法对于孤立点的计算效果不好，因为要取固定个数的邻居，当它附近没有足够多比较相似的点，就*取一些不太相似的点作为邻居，这样就影响了邻居相似的程度，比如下图中，点 1 和点 5 其实并不是很相似。
2.基于相似度门槛的邻居：Threshold-based neighborhoods
与计算固定数量的邻居的原则不同，基于相似度门槛的邻居计算是对邻居的远近进行最大值的限制，落在以当前点为中心，距离为 K 的区域中的所有点都作为当前点的邻居，这种方法计算得到的邻居个数不确定，但相似度不会出现较大的误差。
如下图中的 B，从点 1 出发，计算相似度在 K 内的邻居，得到点 2，点 3，点 4 和点 7，这种方法计算出的邻居的相似度程度比前一种优，尤其是对孤立点的处理
协同过滤算法常见问题
虽然协同过滤是一种比较省事的推荐方法，但在某些场合下并不如利用元信息推荐好用。协同过滤会遇到的两个常见问题是
- 稀疏性问题——因用户做出评价过少，导致算出的相关系数不准确
- 冷启动问题——因物品获得评价过少，导致无“权”进入推荐列表中
都是样本量太少导致的（上例中也使用了至少 200 的有效重叠评价数）。
因此在对于新用户和新物品进行推荐时，使用一些更一般性的方法效果可能会更好。比如：
- 给新用户推荐更多平均得分超高的电影；
- 把新电影推荐给喜欢类似电影（如具有相同导演或演员）的人。
后面这种做法需要维护一个物品分类表，这个表既可以是基于物品元信息划分的，也可是通过聚类得到的。