IMU姿态惯性推导
- 最近从事行人惯性导航的研究，本人也是一个小白，其中看了很多文献，有很多个人思考很费时间的地方，撰写此随笔的目的不仅是给自己做一个笔记，也是给各位有需要的仁兄一点个人理解。
- 本文只关于使用IMU传感器为主的行人导航算法。
- 本文为一篇行人惯性导航的入门，主要针对其中重要的涉及的知识点之间的解释、串联，包括航向更新、速度更新、位置更新、坐标变换原理即代码，不深究其推导。要是有什么讲得不对的地方，请给予指正，谢谢。
引言
以IMU为主，其他传感器（多为磁力计、高度计、气压计、压力传感器、肌肉电传感器等）为辅的行人导航研究中，主要有两种方案（这里忽略SLAM、激光雷达之类的，）。一个是基于航迹推移的方案（SHS，step-and-heading systems），另一个是基于惯性积分的方案（INS，inertial navigation systems）。个人研究的技术方向属于后者（INS），所以后面将会着重介绍后者的技术细节。
SHS
也就是常见的航迹推移算法（PDR，Pedestrian Dead Reckoning），根据计算出来的步长和航向，通过三角函数关系递推下一步的位置。所以该方案的核心就是求步长和航向，同时也是该算法的两个主要误差来源。求步长有诸多步长估计模型，比如Weinberg模型[1]
\[l=k \times (a_{max}-a_{min})^{1/4} \]或者Scarlet模型[2]
\[l=k \times \cfrac{\cfrac{\sum_{i=1}^Na_i}{N}-a_{min}}{a_{max}-a_{min}} \]等等，详细细节可自行了解。但是无论使用哪一个步长模型，这里面的参数（比如k）都跟个体参数（步频、步长、腿长等）的不同而不同，即需要对人体进行运动学建模，这也是这种模型最大的一个弊端（个人觉得）[3]。
关于航向修正放在后面（INS）一起总结，因为无论是SHS，还是INS，航向漂移都是两者的痛点。
INS
基于惯性递推的技术方案，给出常见的递推公式[4]便一目了然。
\[p_k^n=p_{n-1}^n+v_{k-1}^n\Delta T \\ v_k^n = v_{k-1}^n+\{R(q_{k-1})f^b + g^n\}\Delta T \\ q_{b,k}^n = \Omega(\omega_k \Delta t)q_{b,k-1}^n \]其中\(n\)、\(b\)分别表示导航坐标系和载体坐标系，\(p\)、\(v\)、\(q\)分别表示位置、速度、姿态四元数（对应欧拉角，俯仰角pitch、滚转角raw、航向角yaw）。这里是一个简化后的模型，忽略了地球自转、经纬度等因素的影响，因为这些因素对低精度的惯性器件影响可以忽略不计，具体细节可以参考文献[7]，这里不再展开。
INS特点：
- 基于惯性递推的方案相比于航迹推移算法，其本身的姿态推导不需要为人体运动学建模，适用性更好；
- 基于惯性递推的方案误差随时间的立方根次增长，这是其最大的弊端；
- 基于惯性递推的方案一般结合零速修正技术，使用卡尔曼滤波器将两者进行融合，限制误差的增长。
关于INS方法的技术点
- 零速修正
- 使用零速修正技术，重点是使用什么检测器检测零速条件！
- 当前有很多零速检测器，比SHOE、ARED、MBGTD等，其中SHOE公认精度是最好的[6]。
- 航向修正
- 无论是SHS还是INS，在航向修正方面所遇到的问题都基本相同，及决方案大致一样，要么借助磁力计，要么是HDR/iHDR，或者其他的方案。
干货
下面所讲的内容是个人所经历的，也是本文的重点。如果看惯性导航参考书[5]的话，你一般都会看到复杂的推导，容易搞蒙，尤其是涉及到坐标系的转换关系，除非死磕硬骨头才能拿下。其实有一本不错的讲义[8]，本人的大多数困惑都能从上边找到答案。
- 姿态更新
- 首先要明白IMU测的是相对于惯性坐标系 \(i\) 的加速度和角速度，不是相对于导航系 \(n\) ，这之间存在转换。这也是为什么我早期一直很困惑的原因。具体的推导比较复杂，本文只给出关键结果。姿态的更新一般用四元数、旋转矩阵或旋转向量表示。本文以旋转矩阵进行说明。不同表达形式，都有各自的优缺点。旋转矩阵存在万向锁问题，四元数存在交换不可逆误差等。一般在使用的时候结合使用。
其中，\(C_{b(k)}^{b(k-1)}\) 表示以i系作为参考基准，b系从 \(t_{k-1}\) 时刻到 \(t_{k}\) 时刻的旋转变化，\(C_{b(k)}^{b(k-1)}\) 由角速度 \(w_{ib}^b\) 确定；\(C_{n(k)}^{n(k-1)}\) 表示以i系作为参考基准，n系从 \(t_{k-1}\) 时刻到 \(t_{k}\) 时刻的旋转变化，\(C_{n(k-1)}^{n(k)}\) 由计算角速度 \(-w_{in}^n\) 确定；\(C_{n(k-1)}^{n(k-1)}\) 和 \(C_{b(k)}^{n(k)}\) 分别表示 \(t_{k-1}\) 和 \(t_{k}\) 时刻的捷联姿态矩阵。通常在导航更新周期 \([t_{k-1},t_k]\) 内，可认为速度和位置引起的 \(w_{in}^n\) 计算角速度很小，即可视为常值[8]；通常在更新周期 \([t_{k-1},t_k]\) 内，导航系的变化很缓慢，所以 \(C_{n(k-1)}^{n(k)} \approx I_{3 \times 3}\)[5]。从这个角度应该能更好的理解坐标系之间的变化关系。
用四元数表示为：
\[Q(t_k) = Q(t_{k-1})\bigotimes q(\omega_k \Delta t) \\ q(\omega_k \Delta t) = cos\cfrac{\phi}{2} + \cfrac{\overrightarrow{\phi}}{\phi}sin\cfrac{\phi}{2} \]其中 \(Q\) 为四元数，表示载体的姿态，\(\phi\) 是旋转矢量 \(\overrightarrow{\phi}\) 的模长，四元数、旋转矢量、旋转矩阵可以互相转换。这里所写的形式和之前的递推公式没有什么区别，只是一个是四元数的左乘，一个是四元数的右乘。为什么四元数需要结合旋转向量使用，就是弥补各自的缺点（建议看书，这里面存在一个理论推导）。
- 速度更新
- 速度的更新也存在一个坐标系的转换；
- 其实只要理解的旋转矩阵的更新，后面的推导都是在旋转矩阵更新的基础上的得到；
- 关于速度更新，更注意的一点是剔除重力因素的影响。
- 上面的递推公式 \(v_k^n = v_{k-1}^n+\{R(q_{k-1})f^b + g^n\}\Delta T\)，其中 \(R(q_{k-1})f^b\) 对所测到的加速度 \(f^b\)（一般称为比力） 进行坐标变换，\(R(q_{k-1})\) 表示对四元数转换为旋转矩阵。
- 位置更新
- 这就不用说了，一眼明了。
相关代码（Python）
\[p_k^n=p_{n-1}^n+v_{k-1}^n\Delta T \\ v_k^n = v_{k-1}^n+\{R(q_{k-1})f^b + g^n\}\Delta T \\ q_{b,k}^n = \Omega(\omega_k \Delta t)q_{b,k-1}^n \] def nav_eq(self, xin, imu, qin, dt):
# imu[0:3] acc 加速度
# imu[3:6] gyro 角速度
# imu[6:9] attitude 航向
# update Quaternions
x_out = np.copy (xin) # initialize the output
# 这里是求 omega，即 wt 的
omega = np.array ([[0, -imu[3], -imu[4], -imu[5]],
[imu[3], 0, imu[5], -imu[4]],
[imu[4], -imu[5], 0, imu[3]],
[imu[5], imu[4], -imu[3], 0]])
# 求角速度的二范数，即模长
# qout输出旋转矩阵 $\Omega$
# 定时增量法，四元数微分方程的毕卡求解法，四元数的更新为了避免其自身的不可交换误差，会先计算旋转矢量，利用旋转矢量更新四元数，具体参考文献[8]
norm_w = LA.norm (imu[3:6])
if (norm_w * dt != 0):
q_out = (np.cos (dt * norm_w / 2) * np.identity (4) + (1 / (norm_w)) * np.sin (dt * norm_w / 2) * omega).dot (qin)
else:
q_out = qin
attitude = quat2euler (q_out, 'sxyz') # update euler angles
x_out[6:9] = attitude
Rot_out = quat2mat (q_out) # 将更新后的四元数转换成旋转矩阵
acc_n = Rot_out.dot (imu[0:3]) # 对所测的加速度进行坐标变换
acc_n = acc_n + np.array ([0, 0, self.config["g"]]) # 剔除重力影响
x_out[3:6] += dt * acc_n # 速度更新
x_out[0:3] += dt * x_out[3:6] + 0.5 * np.power (dt, 2) * acc_n # 位置更新
return x_out, q_out, Rot_out
在此感谢大佬的开源pyshoe。如果是小白，强烈推荐这个开源，因为其还有对标论文，可以便看边上手。同时还需要感谢大佬实验室OpenSHOE。这两个开源项目给我的研究带来了巨大的飞跃，在此重重感谢。
总结
关于IMU的行人导航技术，还有很多研究的热点，比如初始校准、高程问题、航向问题、多运动模型的问题等等。以上只是个人的理解，如果有什么不对的地方，请大佬尽管之处，虚心请教。欢迎各位同学留言，互相学习、探讨。
参考文献
[1] Weinberg H. Using the ADXL202 in pedometer and personal navigation applications[J].
[2] Scarlett J. Enhancing the performance of pedometers using a single accelerometer[J].
[3] 潘献飞, 穆华, 胡小平. 单兵自主导航技术发展综述[J]. 导航定位与授时, 2018, 5(1):11.
[4] Wagstaff B , Peretroukhin V , Kelly J . Robust Data-Driven Zero-Velocity Detection for Foot-Mounted Inertial Navigation[J]. IEEE Sensors Journal, 2019, PP(99):1-1.
[5] 秦永元. 惯性导航.第2版[M]. 科学出版社, 2014.
[6] Wahlstrm J , Skog I . Fifteen Years of Progress at Zero Velocity: A Review[J]. 2020.
[7] Muhammad I , Kuk C , Seung-Ho B , et al. Drift Reduction in Pedestrian Navigation System by Exploiting Motion Constraints and Magnetic Field[J]. Sensors (Basel, Switzerland), 2016, 16(9).
[8] 捷联惯导算法与组合导航原理讲义. 严恭敏，翁浚 编著.