一致连续定理

一致连续定义

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义，如果，\(\forall \epsilon > 0, \exist \delta >0\)，使得对于在区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1, x_2\)，当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时，恒有 \(|f(x_1) - f(x_2)|<\epsilon\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续

参数 \(\delta\) 仅与 \(\epsilon\) 有关，与所选取的任意两点 \(x_1, x_2\) 无关，即 \(\delta = \delta(\epsilon)\)

连续但不一致连续

\[f(x) = \dfrac{1}{x}, ~~x>0 \]

连续性：

\(\forall \epsilon > 0, \forall x > 0,\) 要 \(|\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{(x+\delta)}| < \epsilon\), 只需

\[\begin{cases} -\epsilon < \dfrac{\delta}{x(x+\delta)} < \epsilon & \to \dfrac{1}{x} - \epsilon < \dfrac{1}{x+\delta} < \dfrac{1}{x} + \epsilon\\ x+\delta > 0 \end{cases} \]

不一致连续：

对任意 \(\epsilon, x_1, \delta\) 满足

\[\dfrac{\delta}{x_1(x_1+\delta)} < \epsilon \]

只需将 \(x_1\) 取小，即可使不等式不恒成立，故不一致连续

有限覆盖

开覆盖：

设 \(S\) 为 \(R_n\) 上的点集，如果 \(R_n\) 中的一组开集 \(A={U_α：α∈A}\) 满足 \(\{~U_α\) 的并 \(\} ⊇ S\)，那么称集族 \({U_α}\) 为 \(S\) 的一个开覆盖
而被覆盖区域中任意一点 \(P\) 都能找到在开覆盖中找到一个集合 \(S\) 使得 \(P∈S\)

有限覆盖定理：

设 \(H\) 是闭区间 \([a,b]\) 的一个（无限）开覆盖，则必可以从 \(H\) 中选择有限个开区间来覆盖 \([a,b]\)

有界开集反例

为了说明 \((0, 1)\) 不一定能被有限覆盖，只需要找到它的一个开覆盖，其中每个开集缺一不可

为了找到这样一个开覆盖，我们可以以这样的思路构造：其中的每个开集都有一个点只有它有，或者一段区间只有它有

\[A = \{(a_i, \dfrac{2}{\pi}\arctan i)~|~i = 1,2,..\land a_1 = 0 \land a_{i+1} = \dfrac{2}{\pi}\arctan i\} \]

选 \(\dfrac{2}{\pi}\arctan\) 的原因是要找到一个单增且收敛的函数，使得随着 \(i\) 的递增，这个函数收敛到 \(1\)

通过 \(A\) 可以构造出一个集合簇 \(B\)

\[B = \{(a_i, a_{i+2})~|~i = 1, 2,..\} \]

这样，因为 \(A\) 中区间两两不相交，可知点 \(a_{i+1}\) 仅仅 \(\in (a_i, a_{i+2})\)，开覆盖 \(B\) 即为所求

另一个构造思路

\[B = \{(\dfrac{1}{n}, 1- \dfrac{1}{n})~|~i = 3, 4, ..\} \]

这个构造更纯粹地说明了开集和闭集的区别

去掉有限个区间，还剩无穷个区间

有限覆盖定理证明

证明： 反证，设 \([a, b]\) 不能被有限覆盖

二分 \([a, b]\) 得到 \([a_1, b_1]\) 和 \([a_2, b_2]\)，这两个区间至少有一个不能被有限覆盖

这样得到一个闭区间套 \(\{[a_n, b_n]\}\)，最终逼近一个实数 \(c\)，由开覆盖定义可知，对任意开覆盖 \(A\)，必存在 \(S\in A\)，使得 \(c\in S\)

\(S\) 是开集，所以 \(c\) 是 \(S\) 的一个内点，那么必存在 \(N\) 使得 \(\forall n > N, [a_n, b_n] \sub S\)，于是 \([a_n, b_n]\) 被有限覆盖，矛盾

一致连续定理

闭区间上的连续函数必一致连续

教材上是用致密性定理反证，这里用有限覆盖构造 δ

若 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续，对于给定 \(\epsilon\), 需要求得一个 \(\delta\) 使得 \(\forall x_1, x_2\) 满足 \(x_2 - x_1 < \delta\) 且 \(x_2 > x_1\) 有

\[-\epsilon < f(x_2) - f(x_1) < \epsilon \]

由于 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续，故 \(\forall x \in [a, b]\)，存在 \(U(x, \delta_x)\) 使得 \(\forall x' \in U(x, \delta_x)\) 有

\[|f(x') - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2} \]

故若 \(x_1, x_2 \in U(x, \delta_x)\)，则

\[\begin{aligned} |f(x_1) - f(x_2)| \le& |f(x_1) - f(x)| + |f(x_2) - f(x)| \\ <& \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{aligned} \tag{1} \]

因此我们只需要保证任意的 \(x_1, x_2\) 满足题意总能落在某个点的邻域中

存在开覆盖 \(\{(x-\dfrac{\delta_x}{2}, x+ \dfrac{\delta_x}{2})~|~x\in [a, b]\}\)

由有限覆盖定理，存在子有限开覆盖 \(\{(x_k-\dfrac{\delta_{x_k}}{2}, x_k+ \dfrac{\delta_{x_k}}{2})~|~k = 1, 2, .., m\}\)

注意，这里必须要取有限开覆盖，才能取最小值
否则不一定取到一个实数，如 min({1/n})

取 \(\delta = \min(\delta_{x_k})\)，接下来证明 \(x_1, x_2\) 总是能落到同一个邻域 \(U(x, 2\delta)\) 中

由开覆盖定义，存在邻域使得 \(x_1 \in U(x, \delta)\)

因为 \(|x_1 - x_2| < \delta\), 所以 \(x_2 \in U(x, 2\delta)\)

于是由 \((1)\) 可知 \(f\) 在 \([a, b]\) 上一致连续

一致连续的序列表述

\(E\) 是 \(\R\) 的子集，\(f\) 在 \(E\)上有定义，\(f\) 在 \(E\) 一致连续的充要条件是对任意满足 \(\lim (x_n - y_n) = 0\) 的序列 \(\{x_n\}\sub E\) 和 \(\{y_n\}\sub E\)，都有

\[\lim (f(x_n) - f(x_y)) = 0 \]

我还没看致密性原理，看完再回来看看这个