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本文是极端值推断的内容。我们在广义帕累托分布上使用最大似然方法。
在参数模型的背景下，标准技术是考虑似然的最大值（或对数似然）。考虑到一些技术性假设，如 ，
的某个邻域，那么
其中表示费雪信息矩阵。在此考虑一些样本，来自广义帕累托分布，参数为
，因此
如果我们解决极大似然的一阶条件，我们得到一个满足以下条件的估计
这种渐进正态性的概念如下：如果样本的真实分布是一个具有参数的GPD，那么，如果n足够大，就会有一个联合正态分布
。因此，如果我们产生大量的样本（足够大，例如200个观测值），那么估计的散点图应该与高斯分布的散点图相同。
- > for(s in 1:1000){
- + param[s,]=gpd(x,0)$par.ests
- > image(x,y,z)
得到一个3D的表示
- > persp(x,y,t(z)
- + xlab="xi",ylab="sigma")
有了200个观测值，如果真正的基础分布是GPD，那么，联合分布是正态的。
另一个重要的属性是德尔塔法。这个想法是，如果是渐进正态，足够平滑，那么也是渐进高斯的。
从这个属性中，我们可以得到（这是极值模型中使用的另一个参数化）的正态性，或者在任何四分位数
上 。我们运行一些模拟，再一次检查联合正态性。
- > for(s in 1:1000)
- + gpd(x,0)$par.ests
- + q=sha * (.01^(-xih) - 1)/xih
- + tvar=q+(sha + xih * q)/(1 - xih)
- dmnorm(cbind(vx,vy),m,S)
- > image(x,y,t(z)
正如我们所看到的，在样本大小为200的情况下，我们不能使用这个渐进式的结果：看起来我们没有足够的数据。但是，如果我们在n=5000运行同样的代码，
- > n=5000
我们得到和
的联合正态性。这就是我们可以从这个结果中得到的delta-方法。
另一个有趣的方法是Profile 似然函数的概念。因为尾部指数，
在这里是辅助参数。
这可以用来推导出置信区间。在GPD的情况下，对于每个 ，我们必须找到一个最优的 。我们计算Profile 似然函数，即
。而我们可以计算出这个轮廓似然的最大值。一般来说，这个两阶段的优化与（全局）最大似然是不等价的，计算结果如下
- + profilelikelihood=function(beta){
- + -loglik(XI,beta) }
- + L[i]=-optim(par=1,fn=profilelik)$value }
如果我们想计算轮廓似然的最大值（而不是像以前那样只计算网格上的轮廓似然的值），我们使用
- + profile=function(beta){
- + -loglikelihood(XI,beta) }
- (OPT=optimize(f=PL,interval=c(0,3)))
我们得到结果和最大似然估计的相似。我们可以用这种方法来计算置信区间，在图表上将其可视化
- > line(h=-up-qchisq(p=.95,df=1)
- > I=which(L>=-up-qchisq(p=.95,df=1))
- > lines(XIV[I]
竖线是参数95%置信区间的下限和上限。
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