R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法

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本文是极端值推断的内容。我们在广义帕累托分布上使用最大似然方法。

  • 极大似然估计

在参数模型的背景下,标准技术是考虑似然的最大值(或对数似然)。考虑到一些技术性假设,如 R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法 ,R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法的某个邻域,那么

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其中R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法表示费雪信息矩阵。在此考虑一些样本,来自广义帕累托分布,参数为R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法 ,因此 

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如果我们解决极大似然的一阶条件,我们得到一个满足以下条件的估计R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法

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这种渐进正态性的概念如下:如果样本的真实分布是一个具有参数R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法的GPD,那么,如果n足够大,就会有一个联合正态分布R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法。因此,如果我们产生大量的样本(足够大,例如200个观测值),那么估计的散点图应该与高斯分布的散点图相同。

  1.    
  2.   > for(s in 1:1000){
  3.   + param[s,]=gpd(x,0)$par.ests
  4.    
  5.    
  6.   > image(x,y,z)

得到一个3D的表示

  1.    
  2.   > persp(x,y,t(z)
  3.   + xlab="xi",ylab="sigma")

 

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有了200个观测值,如果真正的基础分布是GPD,那么,联合分布R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法是正态的。
 

  • Delta德尔塔法

另一个重要的属性是德尔塔法。这个想法是,如果是渐进正态,足够平滑,那么也是渐进高斯的。

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从这个属性中,我们可以得到R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法(这是极值模型中使用的另一个参数化)的正态性,或者在任何四分位数R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法上 。我们运行一些模拟,再一次检查联合正态性。

  1.    
  2.   > for(s in 1:1000)
  3.   + gpd(x,0)$par.ests
  4.   + q=sha * (.01^(-xih) - 1)/xih
  5.   + tvar=q+(sha + xih * q)/(1 - xih)
  6.   dmnorm(cbind(vx,vy),m,S)
  7.   > image(x,y,t(z)

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正如我们所看到的,在样本大小为200的情况下,我们不能使用这个渐进式的结果:看起来我们没有足够的数据。但是,如果我们在n=5000运行同样的代码,

 
  1.   > n=5000
  2.    
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我们得到R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法的联合正态性。这就是我们可以从这个结果中得到的delta-方法。

 

  • 轮廓似然( Profile Likelihood )

另一个有趣的方法是Profile 似然函数的概念。因为尾部指数R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法在这里是辅助参数。
这可以用来推导出置信区间。在GPD的情况下,对于每个R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法 ,我们必须找到一个最优的 。我们计算Profile 似然函数,即R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法 。而我们可以计算出这个轮廓似然的最大值。一般来说,这个两阶段的优化与(全局)最大似然是不等价的,计算结果如下

 

  1.    
  2.   + profilelikelihood=function(beta){
  3.   + -loglik(XI,beta) }
  4.   + L[i]=-optim(par=1,fn=profilelik)$value }
  5.    

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如果我们想计算轮廓似然的最大值(而不是像以前那样只计算网格上的轮廓似然的值),我们使用

  1.    
  2.   + profile=function(beta){
  3.   + -loglikelihood(XI,beta) }
  4.   (OPT=optimize(f=PL,interval=c(0,3)))
  5.    

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我们得到结果和最大似然估计的R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法相似。我们可以用这种方法来计算置信区间,在图表上将其可视化

  1.    
  2.   > line(h=-up-qchisq(p=.95,df=1)
  3.   > I=which(L>=-up-qchisq(p=.95,df=1))
  4.   > lines(XIV[I]

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竖线是参数R语言极值推断:广义帕累托分布GPD使用极大似然估计、轮廓似然估计、Delta法95%置信区间的下限和上限。


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