线性方程组QAQ

2024-02-05 09:50:22

-1.序言

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说到线性方程组，大家第一反应大概就是高斯消元，本文将对其详细讲解并配合例题与相关方法为您呈现。

本文因~~图文并茂~~有较多配图且讲解详细较多，再过多的放置代码会引起文章的冗长以及阅读的不适，故只将模板放在上面。

另特别鸣谢@command_block，原因见下图:

(灵感所在)，这是出处

0、由来

遇到形如：

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\. . .\\. . .\\. . .\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2.........an1x1+an2x2+...+annxn=bn

这样的方程组，你会怎么解呢？

如果是在数学领域中，可能这样的方程组中方程的个数是屈指可数的，这样就特别简单，一通乱搞就出来了。

但是如果在OI领域遇到这类问题呢？我们发现，计算机中必须由固定的算法，才能实现某一问题，而人脑能进行综合性的思考，但是却无法将大脑中的神经元活动表述到程序中，这是人脑与电脑的区别，也就由此诞生了各种解线性方程组的方法。

说到这里，我想起了一本著名的书：计算机与人脑。冯诺依曼写的，有兴趣者可以自行购买阅读~~也能普及一些历史~~

这种线性的方程组在工程中也运用广泛，这种模型中：

未知量较多
方程个数不同

而在考虑解方程时，要考虑：

是否有解？
如果有解，是否唯一？
如果不唯一，解有什么规律与结构？

由此，线性方程组的解决方法就显得尤为重要。

下面就来介绍一下两种常用的方法及相关例题

1、高斯消元

插播一些历史知识：

该方法以数学家高斯命名，由拉布扎比.伊丁特改进，发表于法国但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。

自豪ingQAQ

高斯：

为德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家。享有“数学王子”的美誉，真的是多才多艺，著名的“自然数1~100的求和问题”就是他9岁时计算出来的，虽然可能现在对我们来说轻而易举，但是的确体现了他那时的创新精神，为日后的研究打下了坚实的基础。

这种是大家比较耳熟能详的解法了。

那么，这种解法的核心思想是什么呢？

我们先来构想一下，什么样子的线性方程式我们用电脑也能写出解法？

显然，我们如果从某一个式子开始，每一个式子都能得到一个未知数的解，而得到了这个未知数的解，又能代入另一个方程，再得到一个未知数的解。

以此类推。

~~没错就是本萌新最擅长的无脑递推~~

总结一下，就是一个“三角形分割”《----（自己瞎起的名字）

还是拿上面那个普遍形式：

但是为了观察方便，我们假设一个三行四列的式子：（真香）

{ x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 5 x 1 + 4 x 2 + 7 x 3 = 3 9 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 2 \begin{cases}x_1+3x_2+4x_3=5\\x_1+4x_2+7x_3=3\\9x_1+3x_2+2x_3=2\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+3x2+4x3=5x1+4x2+7x3=39x1+3x2+2x3=2

此时把系数写到矩阵里：（没学过矩阵也没关系，就当成一个表示就行啦）

其实就是高斯消元模板题的样例

第一步：对左侧的系数进行消元，即对：

进行向“三角形分割”的转换

即目标状态为

此时，我们设标红的1为主元，对照目标状态可知，标绿的1和9需要化0

所以我们只需要将第二行整体减去第一行，就实现了将绿1化0

那么9如何转化呢？

此时就对应的整体减去9倍的第一行就行（可能会有更简便的系数化0法，但是我们要给计算机设计一个统一的算法才能实现）

于是就得到了：

然后再以绿1为主元，现在我们需要将-24化为0

于是将第三行整体减去 − 24 -24 −24倍第二行（其实相当于加24倍）

Q：这里不会把之前第一列化好的0给冲掉吗？

A:显然，在上一步已经保证第一列除主元外系数皆为0，所以不会出现上述情况

Q:万一上面那个绿1为0怎么办？

A:这就是比较特殊的主元为0的情况，此时因为每一个方程地位都相等，所以只需将主元所在的行与下方主元位置非0的行互换即可。

追加Q：万一下面也没有呢？

A:那么方程就无解了，这种情况在后面也会提到。

于是就和

这个目标状态对应起来了。

然后就想摩拳擦掌的解了。

但是发现右边的b还没有代入矩阵。

于是

第二步：对增广矩阵消元

所谓增广矩阵？

增广矩阵（又称扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。 -----百度百科

其实就是多出b那一列啦

如上

增广矩阵的操作与左侧的系数矩阵完全一样，刚开始单列系数矩阵只是一个由简入难的过程，加深对高斯消元的理解。咸鱼限于篇幅原因，就不再赘述。

第三步：回带

最后经过一系列的消元，就得到了如下矩阵：

然后把矩阵再写回方程组：

{ x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 5 0 x 1 + 1 x 2 + 3 x 3 = − 2 0 x 1 + 0 x 2 + 38 x 3 = − 91 \begin{cases}x_1+3x_2+4x_3=5\\0x_1+1x_2+3x_3=-2\\0x_1+0x_2+38x_3=-91\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+3x2+4x3=50x1+1x2+3x3=−20x1+0x2+38x3=−91

这样我们显而易见地就可以去掉系数为0的字母：

{ x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 5 1 x 2 + 3 x 3 = − 2 38 x 3 = − 91 \begin{cases}x_1+3x_2+4x_3=5\\1x_2+3x_3=-2\\38x_3=-91\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+3x2+4x3=51x2+3x3=−238x3=−91

现在结果明了了，从下往上推：

依次可以得到

x 3 = − 91 38 = − 2.39 x_3=\frac{-91}{38}=-2.39 x3=38−91=−2.39
（保留了两位小数）

然后已知 x 3 x_3 x3，将其代入中间式子中的 x 3 x_3 x3，同理解得

x 2 = 5.18 x_2=5.18 x2=5.18

最后将 x 2 x_2 x2, x 3 x_3 x3都代回最上面的式子，得：

x 1 = − 0.97 x_1=-0.97 x1=−0.97

于是，对高斯消元的手动模拟就结束了QAQ

显然，~~这个在数学考试中会答不完题的~~，但是对于计算机来说，却是一个通用的方法。

时间复杂度： O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)

虽然时间复杂度较高，不管怎样，我们已经找到了解决线性方程组的计算机通用方法，下面就用代码实现：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
const double eps=1e-7 ;
double a[105][105],ans[105];
int main()
{
    int n;
	scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    { 
        for(int j=1;j<=n+1;j++)//这里千万别忘了右侧那一列了 
        {
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
	{
        int m=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(fabs(a[m][i])<fabs(a[j][i]))//fabs能取浮点数绝对值
                m=j;//找到当前这一列最大的数字,作为主元消元，这样能最大限度的避免精度误差 
        if(fabs(a[m][i])<eps)//这里要判精度，其实就是如果该位置的系数为0则无解（double没法准确处理这种精度 
		{
            printf("No Solution\n");
            return 0;
        }
        if(i!=m)swap(a[i],a[m]);//如果巧了，当前行不是最大行，那得罪了，你换下去吧，让未来的主元上来，好直接枚举之后的方程就行了 
        double d=a[i][i];
        for(int j=i;j<=n+1;j++)
            a[i][j]/=d;//将该位置的系数变为1 
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
            d=a[j][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++)
            {
                a[j][k]-=a[i][k]*d;//将其他的方程用两式相减的方法减去应当减掉的系数的值 
            }
        }
    }
    ans[n]=a[n][n+1];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)//回带，最后一行直接写出答案，然后其他行还有等待前面处理出来，从后往前推即可 
	{
        ans[i]=a[i][n+1];//这里不难理解 
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            ans[i]-=a[i][j]*ans[j]; 
    	}
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    { 
        printf("%.2lf\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

这个模板可以在P3389 【模板】高斯消元法提交测试（话说貌似我之前已经放个一遍链接了

其他的地方应该都不难理解，就是为什么要让主元是最大的来避免误差？

这个是从期望上来证明的，有兴趣者阔以看看这一篇日报，应该就能想出来了吧。

大概就是：

设当前要消元的式子系数为 q i 1 , q i 2 , q i 3 . . . q i n q_{i1},q_{i2},q_{i3}...q_{in} qi1,qi2,qi3...qin

并假定我们主要针对的系数是 q i 1 q_{i1} qi1

则有

q j n = q j n − q j 1 q i 1 × q i w q_{jn}=q_{jn}-\frac{q_{j1}}{q_{i1}}\times q_{iw} qjn=qjn−qi1qj1×qiw

此时我们求的最大主元就是 q i 1 q_{i1} qi1，它越大，就说明 q j 1 q i 1 \frac{q_{j1}}{q_{i1}} qi1qj1的期望越小，这时较小的数给整个结果带来的影响也小，那么就不容易造成精度误差了QAQ

到此，高斯消元就结束了，但是

还有高斯消元的进阶版，能避免回带来求出答案。

2、高斯——约旦消元

说到避免回带来求出答案，大家应该能想到这种算法的目的，还是拿样例来说，就是把方程组变成：

这样，每个方程就能独立的解了。

那么，我们如何得到这种形式呢？

首先，我们依照朴素的高斯消元不难得到:

观察上下两个矩阵，不难得到，我们在消元时不仅仅消去主元所在式子下方的式子，而对于上方的式子也应当予以处理。

于是就开始了，下方是原图：

第一次与普通消元类似，即得：

但是第二次也要将第一行进行消元，得到：

然后就是最后一步（这一步是比朴素高斯消元要多的）：

把矩阵写回方程组

{ x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = − 0.97 0 x 1 + x 2 + 0 x 3 = 5.18 0 x 1 + 0 x 2 + 38 x 3 = − 91 \begin{cases}x_1+0x_2+0x_3=-0.97\\0x_1+x_2+0x_3=5.18\\0x_1+0x_2+38x_3=-91\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+0x2+0x3=−0.970x1+x2+0x3=5.180x1+0x2+38x3=−91

系数为0去掉.jpg:

{ x 1 = − 0.97 x 2 = 5.18 38 x 3 = − 91 \begin{cases}x_1=-0.97\\x_2=5.18\\38x_3=-91\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1=−0.97x2=5.1838x3=−91

这下子结果显然：

{ x 1 = − 0.97 x 2 = 5.18 x 3 = − 2.39 \begin{cases}x_1=-0.97\\x_2=5.18\\x_3=-2.39\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1=−0.97x2=5.18x3=−2.39

下面是模板代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
double a[105][105];
int main()
{
	int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举列（项） 
    {
        int m=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)//选出该列最大系数 
        {
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[m][i]))//fabs是取浮点数的绝对值的函数
            {
                m=j;
            }
        }
        for(int j=1;j<=n+1;j++)//交换
        {
            swap(a[i][j],a[m][j]);
        }
        if(a[i][i]==0)//最大值等于0则说明该列都为0，肯定无解 
        {
            printf("No Solution\n");
            return 0;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++)//每一项都减去一个数
        {
            if(j!=i)//不是主元那一项 
            {
                double d=a[j][i]/a[i][i];
                for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
                {
                    a[j][k]-=a[i][k]*d;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//最后的结果系数可能不为1，所以记得消去常数 
    {
        printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
    }
    return 0;
}

显然，这一份代码较上一份简练一些

3、例题

例题1：

P2455 [SDOI2006]线性方程组

题意简叙：

已知n元线性一次方程组，判断解的情况。

无实数解输出-1
无穷多实数解输出0
有唯一解，则输出解（小数点后保留两位小数）。具体格式见样例

分析：

这道题只是细化了前面模板题对无法得出唯一解情况的判断，于是顺便讲一下无解&&多解时的判断方法：

（我们知道，只要一个未知数无解或多解就可以说明整个方程的情况）：

无解：

我们最直接的就是判断最后一行是否是

左边系数为0而右边系数不为0

但在容易疏漏情况，我们考虑到每一行，都会在其前面的消元中将唯一一个未知数留下来，也就都等同于第一行。

于是，每一行都可以按照最后一行的套路模板来判断：

i f ( a [ i ] [ i ] = = 0 if(a[i][i]==0 if(a[i][i]==0&& a [ i ] [ n + 1 ] ! = 0 ) a[i][n+1]!=0) a[i][n+1]!=0)无解

多解：

与上面对应的，我们很容易想到：

i f ( a [ i ] [ i ] = = 0 if(a[i][i]==0 if(a[i][i]==0&& a [ i ] [ n + 1 ] = = 0 ) a[i][n+1]==0) a[i][n+1]==0)多解

要注意先判断无解，如果是的话直接跳出，然后轮到多解。

因为多解首先建立在有解的基础上，如果哪一个未知数无解，整个方程自然不存在解，更不必说多解了。

然后其他的就和模板题完全一样了

例题2:

（这题我没有找到出处）

题目：【维他命的配方】

题意：

现有若干种维他命，问能否利用这些维他命配制出适合人需求的各种维生素

输入格式:

第一行：人需补充的维生素种类数 V ( 1 ≤ V ≤ 25 ) V(1\leq V\leq25) V(1≤V≤25)

第二行：V个数，第i个数为 V i V_i Vi,表示人体对第i种维生素的需求量 ( 1 ≤ V i ≤ 1000 ) (1\leq V_i\leq1000) (1≤Vi≤1000)

第三行：已知的维他命种类 G ( 1 ≤ G ≤ 15 ) G(1\leq G\leq15) G(1≤G≤15)

接下来是一个 G × V G\times V G×V的整数矩阵， A i j A_{ij} Aij表示第i种维他命中所含的第j中维生素的含量 ( 1 ≤ A i j ≤ 1000 ) (1\leq A_{ij}\leq1000) (1≤Aij≤1000)

输出格式：

第一行输出能否配制，能则“YES”,否则“NO”

第二行：若能配制则输出G个整数， G i G_i Gi表示第i中维他命所取的数列，多种方案输出任意一组。不能配制酒无需输出此行。

输入样例：

4
100 200 300 400
4
50 50 50 50
30 100 100 100
20 50 150 250
50 100 150 200

输出样例：

YES
1 1 1 0

分析：

首先要弄清维他命与维生素的区别。

然后就应该不难想到高斯消元。

设需要配制第i种维他命数量为 x i ( i ≤ 15 ) x_i(i\leq15) xi(i≤15)

根据题意可列出：

{ 50 x 1 + 30 x 2 + 20 x 3 + 50 x 4 = 100 50 x 1 + 100 x 2 + 50 x 3 + 100 x 4 = 200 50 x 1 + 100 x 2 + 150 x 3 + 150 x 4 = 300 50 x 1 + 100 x 2 + 250 x 3 + 200 x 4 = 400 \begin{cases}50x_1+30x_2+20x_3+50x_4=100\\50x_1+100x_2+50x_3+100x_4=200\\50x_1+100x_2+150x_3+150x_4=300\\50x_1+100x_2+250x_3+200x_4=400\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧50x1+30x2+20x3+50x4=10050x1+100x2+50x3+100x4=20050x1+100x2+150x3+150x4=30050x1+100x2+250x3+200x4=400

这第一步很好想到，但是行列的顺序却容易弄错，仔细观察就会发现需要把 V i V_i Vi补到矩阵的第G+1行，然后每一列为一个方程计算。

列成矩阵的形式：

一通消元变成：

这时，我们惊奇的发现：最后一行都是0

（呀这怎么办！）

（刚才的知识怎么学的！不就是个多解情况吗？！）

~~水印打在人身上可还行~~

好了，多不多解不是关键，关键在于我们要怎么处理这一情况

但这是关键，也并不难。

我们只需~~懒一些~~将可能多解的未知数设为0，来尽可能的减少运算就行。

具体针对这个样例来说，就是设 x 4 = 0 x_4=0 x4=0，他的数量与答案无关，并不造成影响。

4、高斯消元注意事项：

~~模板不要背错~~
为了避免精度问题，最好和eps比较而不是和0比较（虽然有时这个基本相同）
无解多解的判断情况以及顺序
遇到题目转换成高斯消元时不要兴奋的转换出错或弄反

5、后记

这一篇高斯消元的文章终于完工了，里面的矩阵配图和线性方程组的LaTeX书写不易，如果这篇文章对您有帮助，那请不吝赐赞。

码农公寓