这里的消元法，主要是针对矩阵$A$可逆的情况下(如果$A$不可逆消元后不好回代)，即线性方程组只有唯一解的情况下，有多解的情况的解法在后面介绍。

目前我们用于解线性方程组的方法依然是Gauss消元法。在Gauss消元法中，我们将右侧向量b与A写在一起作为一个增广矩阵进行同步的操作，这就默认了对A与b的操作数是相等的且每换一个b就要重复一遍对A的操作。然而，在实际情况中，右侧向量b经常发生变化，因此对于不同的b，又得重复的对A进行操作，增加了复杂度。虽然，选择同步操作更为方便直观。但是，当b变化时，如果我们将对A和对b的操作进行分隔的话，只需对A完成一次完整的消元操作，再对b进行回代操作。这样可以大大减少操作的次数。所以，在b变化时，我们先对A单独进行分解操作。(这段话转自https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8353323.html)

其中的一种分解方法是LU分解。这种方法的优势在于分解结果中L（上三角矩阵）和U（下三角矩阵）都是三角形矩阵，后续运算比较简便。而且二者恰好相配，使用计算机进行运算时可以存储在一个数组中，节约存储空间。利用A的LU分解解线性方程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性方程组的解。