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多准则决策–Multiple Criteria Decision Making

多准则决策是指在具有相互冲突、不可共度的有限(无限)方案集中进行选择的决策。它是分析决策理论的重要内容之一。机理特点概述：

• 项目众多 ：可进行多个项目的评判、排队和选优；
• 因子细化 ：对一个项目进行研究时，每个影响因子都以主判这个项目的准则对待，并对因子的数值要进行一系列的信息加工和提取，给各因子的重要性赋以权重；
• 多维决策 ：将项目评估表看做是一个决策判断矩阵，然后采用十多种决策判别方法组织信息，组合成一个分析机理性强的动态分析系统，进而借助于现代化的计算机技术快速完成信息加工；还可组织决策会议，快速反应决策参与人的意见，利于形成一致性观点。

多准则决策概述

多准则决策(MCDM)根据决策方案是有限还是无限，而分为多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM )两大类。[ —— *]

基本分类

• MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣由若干属性给以定量或定性的表述。

• MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的）目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的，而备选方案集合由一些约束条件给定。

应用领域

• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评价 、2009B题病床安排的合理性指标等。

• MODM ：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘客和航空公司双方利益的航班安排、 2011B题交警平台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安排方案要考虑公平和效率两方面、2009 D题会议筹备要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等。

详细介绍—以TOPSIS方法为例

多属性决策有四种常用方法SAW、WP、TOPSIS、ELECTRE

TOPSIS — 接近理想解的排序法由Yoon和Hwang开发，又称逼近理想解排序法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）。这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解，以方案靠近理想解和远离负理想解两个基准作为方案排序的准则，来选择最满意方案。

• 理想解：就是设想各指标属性都达到最满意值的解；
• 负理想解：就是设想各指标属性都达到最不满意值的解。

视n个属性、m个方案为n维空间中m个点的几何系统，则：

• 每个点的坐标由确定
• 在空间中定义欧氏距离，决策矩阵模一化
• 正理想解由所有最优加权属性值构成
• 负理想解由所有最劣加权属性值构成
• 定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标 —— 相对接近度
• 备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定

图中A*为理想解，A－为负理想解

TOPSIS决策的步骤

1. 建立决策矩阵，权重向量
2. 矩阵标准化
3. 构造加权规范化矩阵
4. 确定理想方案和负理想方案
5. 计算各方案到理想方案和负理想方案的距离
6. 计算各方案的贴进度并排序

R语言实现-代码块

MCDM=function (decision = NULL, weights = NULL, impacts = NULL) #决策矩阵，权重向量，影响因子
{
    if (missing(weights)) 
        stop("缺少'权重向量-weights'")
    if (missing(impacts)) 
        stop("缺少'影响因子-impacts'")
    if (!is.matrix(decision) | is.data.frame(decision)) 
        stop("'决策矩阵-decision'必须是矩阵或数据框")
    if (length(weights) != ncol(decision)) 
        stop("权重向量长度错误")
    if (length(impacts) != ncol(decision)) 
        stop("影响因子长度错误")
    if (!all(weights > 0)) 
        stop("权重必须大于零")
    if (!is.character(impacts)) 
        stop("影响因子必须是字符型 '+'或'-' 符号")
    if (!all(impacts == "+" | impacts == "-")) 
        stop("影响因子只能是字符型 '+'或'-' 符号")
    weights <- weights/sum(weights)
    N <- matrix(nrow = nrow(decision), ncol = ncol(decision)) #建一个空矩阵
    for (i in 1:nrow(decision)) {
        for (j in 1:ncol(decision)) {
            N[i, j] <- decision[i, j]/sqrt(sum(decision[, j]^2))
        }
    }                 #决策矩阵标准化
    W = diag(weights) #建权重对角矩阵
    V = N %*% W       #构造加权规范化矩阵

#确定理想方案和负理想方案
    u <- as.integer(impacts == "+") * apply(V, 2, max) + as.integer(impacts == 
        "-") * apply(V, 2, min)
    l <- as.integer(impacts == "-") * apply(V, 2, max) + as.integer(impacts == 
        "+") * apply(V, 2, min)

#构建理想方案和负理想方案距离公式
    distance_u = function(x) {
        sqrt(sum((x - u)^2))
    }
    distance_l = function(x) {
        sqrt(sum((x - l)^2))
    }

#计算相对接近度并排序
    du <- apply(V, 1, distance_u)
    dl <- apply(V, 1, distance_l)
    score <- dl/(dl + du)
    outcome <- data.frame("方案"= 1:nrow(decision), 得分 = score, 
        排名 = rank(-score))
return(outcome)
}

算法测算模拟

例： 选择战斗机 (4种型号)

各方案对属性的定量取值或定性表述

对X5, X6表述的量化： “很高”、“高”、“中”、“低”、“很低” 记分9,7,5,3,1。则：

决策矩阵

#决策矩阵d，权重向量w，影响因子i
dm=c(2.0,1.5,20,5.5,5,9,
     2.5,2.7,18,6.5,3,5,
     1.8,2.0,21,4.5,7,7,
     2.2,1.8,20,5.0,5,5)
d <- t(matrix(dm, ncol = 4))
w <- c(3, 1, 2,1, 1, 2)
i <- c("+", "+", "+", "-", "+", "+")

outcome=MCDM(d, w, i)
plot(1:nrow(outcome),outcome[,2],ylim=c(0,1),
     cex.axis=1.5,xaxt="n",xlab="方案",ylab="得分",
     main="多准则决策模型-TOPSIS评价方法", pch = 20, 
     cex =10*outcome[,2],col = rainbow(nrow(outcome)))
text(1:nrow(outcome),outcome[,2],as.character(outcome[,3]))
axis(1,labels=c("A","B","C","D"),at=1:4,las=1)

输出结果

注意：属性权重应根据决策目标通过主观经验、调查等先验地给出,或者通过客观量化标准获取，以及两种方法的综合，本例权重向量w，影响因子i纯虚构，旨在演示方法。

提示：想了解更多，请查看Multiple-criteria decision analysis—-*。

反馈与建议

• 作者：商丰瑞
• 主页：http://www.cnblogs.com/shangfr/
• 邮箱：shangfr@foxmail.com

感谢阅读这份文档。