一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

  最近在看深度学习的东西,一开始看的吴恩达的UFLDL教程,有中文版就直接看了,后来发现有些地方总是不是很明确,又去看英文版,然后又找了些资料看,才发现,中文版的译者在翻译的时候会对省略的公式推导过程进行补充,但是补充的又是错的,难怪觉得有问题。反向传播法其实是神经网络的基础了,但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题,或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了,其实不难,就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式,可以直接把数值带进去,实际的计算一下,体会一下这个过程之后再来推导公式,这样就会觉得很容易了。

  说到神经网络,大家看到这个图应该不陌生:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

  这是典型的三层神经网络的基本构成,Layer L1是输入层,Layer L2是隐含层,Layer L3是隐含层,我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,...,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,...,yn},现在要他们在隐含层做某种变换,让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样,那么就是最常见的自编码模型(Auto-Encoder)。可能有人会问,为什么要输入输出都一样呢?有什么用啊?其实应用挺广的,在图像识别,文本分类等等都会用到,我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明,包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样,那么就是很常见的人工神经网络了,相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据,也就是我们今天要讲的话题。

  本文直接举一个例子,带入数值演示反向传播法的过程,公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写,其实也很简单,感兴趣的同学可以自己推导下试试:)(注:本文假设你已经懂得基本的神经网络构成,如果完全不懂,可以参考Poll写的笔记:[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础

  假设,你有这样一个网络层:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

  第一层是输入层,包含两个神经元i1,i2,和截距项b1;第二层是隐含层,包含两个神经元h1,h2和截距项b2,第三层是输出o1,o2,每条线上标的wi是层与层之间连接的权重,激活函数我们默认为sigmoid函数。

  现在对他们赋上初值,如下图:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

  其中,输入数据  i1=0.05,i2=0.10;

     输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

     初始权重  w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

           w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

  目标:给出输入数据i1,i2(0.05和0.10),使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

  Step 1 前向传播

  1.输入层---->隐含层:

  计算神经元h1的输入加权和:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数):

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

  同理,可计算出神经元h2的输出o2:

  一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

  2.隐含层---->输出层:

  计算输出层神经元o1和o2的值:

  一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

这样前向传播的过程就结束了,我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465],与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远,现在我们对误差进行反向传播,更新权值,重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差:(square error)

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

但是有两个输出,所以分别计算o1和o2的误差,总误差为两者之和:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

2.隐含层---->输出层的权值更新:

以权重参数w5为例,如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响,可以用整体误差对w5求偏导求出:(链式法则)

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

现在我们来分别计算每个式子的值:

计算一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

计算一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

(这一步实际上就是对sigmoid函数求导,比较简单,可以自己推导一下)

计算一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

最后三者相乘:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。

回过头来再看看上面的公式,我们发现:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

为了表达方便,用一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation来表示输出层的误差:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

因此,整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

如果输出层误差计为负的话,也可以写成:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

最后我们来更新w5的值:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

(其中,一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation是学习速率,这里我们取0.5)

同理,可更新w6,w7,w8:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

3.隐含层---->隐含层的权值更新:

 方法其实与上面说的差不多,但是有个地方需要变一下,在上文计算总误差对w5的偏导时,是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时,是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差,所以这个地方两个都要计算。

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

计算一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

先计算一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

同理,计算出:

          一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

两者相加得到总值:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

再计算一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

再计算一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

最后,三者相乘:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

为了简化公式,用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

最后,更新w1的权值:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

同理,额可更新w2,w3,w4的权值:

一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

  这样误差反向传播法就完成了,最后我们再把更新的权值重新计算,不停地迭代,在这个例子中第一次迭代之后,总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后,总误差为0.000035085,输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。

代码(Python):

 #coding:utf-8
import random
import math #
# 参数解释:
# "pd_" :偏导的前缀
# "d_" :导数的前缀
# "w_ho" :隐含层到输出层的权重系数索引
# "w_ih" :输入层到隐含层的权重系数的索引 class NeuralNetwork:
LEARNING_RATE = 0.5 def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):
self.num_inputs = num_inputs self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias) self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights) def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
weight_num = 0
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
for i in range(self.num_inputs):
if not hidden_layer_weights:
self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
else:
self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
weight_num += 1 def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
weight_num = 0
for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
if not output_layer_weights:
self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
else:
self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
weight_num += 1 def inspect(self):
print('------')
print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))
print('------')
print('Hidden Layer')
self.hidden_layer.inspect()
print('------')
print('* Output Layer')
self.output_layer.inspect()
print('------') def feed_forward(self, inputs):
hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs) def train(self, training_inputs, training_outputs):
self.feed_forward(training_inputs) # 1. 输出神经元的值
pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
for o in range(len(self.output_layer.neurons)): # ∂E/∂zⱼ
pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o]) # 2. 隐含层神经元的值
pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ
d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h] # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂
pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input() # 3. 更新输出层权重系数
for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)): # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ
pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho) # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight # 4. 更新隐含层的权重系数
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)): # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ
pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih) # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight def calculate_total_error(self, training_sets):
total_error = 0
for t in range(len(training_sets)):
training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
self.feed_forward(training_inputs)
for o in range(len(training_outputs)):
total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
return total_error class NeuronLayer:
def __init__(self, num_neurons, bias): # 同一层的神经元共享一个截距项b
self.bias = bias if bias else random.random() self.neurons = []
for i in range(num_neurons):
self.neurons.append(Neuron(self.bias)) def inspect(self):
print('Neurons:', len(self.neurons))
for n in range(len(self.neurons)):
print(' Neuron', n)
for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
print(' Weight:', self.neurons[n].weights[w])
print(' Bias:', self.bias) def feed_forward(self, inputs):
outputs = []
for neuron in self.neurons:
outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
return outputs def get_outputs(self):
outputs = []
for neuron in self.neurons:
outputs.append(neuron.output)
return outputs class Neuron:
def __init__(self, bias):
self.bias = bias
self.weights = [] def calculate_output(self, inputs):
self.inputs = inputs
self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
return self.output def calculate_total_net_input(self):
total = 0
for i in range(len(self.inputs)):
total += self.inputs[i] * self.weights[i]
return total + self.bias # 激活函数sigmoid
def squash(self, total_net_input):
return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input)) def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input(); # 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的
def calculate_error(self, target_output):
return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2 def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
return -(target_output - self.output) def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
return self.output * (1 - self.output) def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
return self.inputs[index] # 文中的例子: nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)
for i in range(10000):
nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9)) #另外一个例子,可以把上面的例子注释掉再运行一下: # training_sets = [
# [[0, 0], [0]],
# [[0, 1], [1]],
# [[1, 0], [1]],
# [[1, 1], [0]]
# ] # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
# for i in range(10000):
# training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
# nn.train(training_inputs, training_outputs)
# print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

  

  最后写到这里就结束了,现在还不会用latex编辑数学公式,本来都直接想写在草稿纸上然后扫描了传上来,但是觉得太影响阅读体验了。以后会用公式编辑器后再重把公式重新编辑一遍。稳重使用的是sigmoid激活函数,实际还有几种不同的激活函数可以选择,具体的可以参考文献[3],最后推荐一个在线演示神经网络变化的网址:http://www.emergentmind.com/neural-network,可以自己填输入输出,然后观看每一次迭代权值的变化,很好玩~如果有错误的或者不懂的欢迎留言:)

参考文献:

1.Poll的笔记:[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础(http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html#3457159 )

2.Rachel_Zhang:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797

3.http://www.cedar.buffalo.edu/%7Esrihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

4.https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/

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