【CF960G】Bandit Blues（第一类斯特林数,FFT）

题面

洛谷

CF

求前缀最大值有\(a\)个，后缀最大值有\(b\)个的长度为\(n\)的排列个数。

题解

完完全全就是【FJOI】建筑师的加强版本。

显然每一个前缀最大值和一段连续的区间构成了一个环排列，显然每个前缀最大值就是这个环中的最大值。而全局最大值一定把前后缀最大值分开。

所以答案考虑除最大值外，左侧需要\(a-1\)个前缀最大值，右侧需要\(b-1\)个前缀最大值。也就是一共要\(a+b-2\)个环，那么这一部分的贡献是\(\begin{bmatrix}n-1\\a+b-2\end{bmatrix}\)。而环在左右随意分配，所以再乘上一个\(a+b-2\choose a-1\)。

解释一个小问题，为什么不需要考虑环的最大值的大小关系，因为我们强制在排列过程中按照最大值从小往大放，而每个环因为放置的时候是一个线段，那么我们保证最大值一定在靠外侧，这样子后面的比它小的值必定不是前缀或者后缀最大值。

那么问题转化成了怎么预处理第一类斯特林数。戳这里

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define MOD 998244353

#define MAX 300000

inline int read()

{

	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return t?-x:x;

}

int fpow(int a,int b)

{

	int s=1;

	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}

	return s;

}

int r[MAX],W[MAX];

void NTT(int *P,int opt,int N)

{

	int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;

	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));

	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);

	for(int i=1;i<N;i<<=1)

	{

		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;

		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;

		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)

			for(int k=0;k<i;++k)

			{

				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;

				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;

			}

	}

	if(opt==-1)

	{

		reverse(&P[1],&P[N]);

		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;

	}

}

int S[MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];

int C(int n,int m){if(n<m)return 0;return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}

int A[MAX],B[MAX],pw[MAX];

void Solve(int len)

{

	if(len==0){S[0]=1;return;}

	if(len==1){S[1]=1;return;}

	if(len&1)

	{

		Solve(len-1);

		for(int i=len;i;--i)S[i]=(S[i-1]+1ll*S[i]*(len-1))%MOD;

	}

	else

	{

		Solve(len>>1);int l=len>>1,N;

		for(N=1;N<=len;N<<=1);

		pw[0]=1;for(int i=1;i<=l;++i)pw[i]=1ll*pw[i-1]*l%MOD;

		for(int i=0;i<=l;++i)A[i]=1ll*S[i]*jc[i]%MOD;

		for(int i=0;i<=l;++i)B[i]=1ll*pw[i]*jv[i]%MOD;

		reverse(&B[0],&B[l+1]);

		NTT(A,1,N);NTT(B,1,N);

		for(int i=0;i<N;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;

		NTT(A,-1,N);

		for(int i=0;i<=l;++i)A[i]=1ll*A[i+l]*jv[i]%MOD;

		for(int i=l+1;i<N;++i)A[i]=B[i]=0;

		for(int i=0;i<=l;++i)B[i]=S[i];

		NTT(A,1,N);NTT(B,1,N);

		for(int i=0;i<N;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;

		NTT(A,-1,N);

		for(int i=0;i<=len;++i)S[i]=A[i];

		for(int i=0;i<N;++i)A[i]=B[i]=0;

	}

}

int n,a,b;

int main()

{

	n=read();a=read();b=read();

	jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;

	for(int i=1;i<=max(a+b,n);++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;

	for(int i=2;i<=max(a+b,n);++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;

	for(int i=1;i<=max(a+b,n);++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;

	Solve(n-1);int ans=1ll*C(a+b-2,a-1)*S[a+b-2]%MOD;

	printf("%d\n",ans);

	return 0;

}