Ford-Fulkerson 最大流算法

2022-10-31 19:03:57

流网络（Flow Networks）指的是一个有向图 G = (V, E)，其中每条边 (u, v) ∈ E 均有一非负容量 c(u, v) ≥ 0。如果 (u, v) ∉ E 则可以规定 c(u, v) = 0。流网络中有两个特殊的顶点：源点 s （source）和汇点 t（sink）。为方便起见，假定每个顶点均处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点 v ∈ E，存在一条路径 s --> v --> t。因此，图 G 为连通图，且 |E| ≥ |V| - 1。

下图展示了一个流网络实例。

设 G = (V, E) 是一个流网络，其容量函数为 c。设 s 为网络的源点，t 为汇点。G 的流的一个实值函数 f：V×V → R，且满足下列三个性质：

容量限制（Capacity Constraint）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) ≤ c(u, v)。
反对称性（Skew Symmetry）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) = - f(v, u)。
流守恒性（Flow Conservation）：对所有顶点对 u ∈ V - {s, t}，要求 Σ_v∈Vf(u, v) = 0。

f(u, v) 称为从顶点 u 到顶点 v 的流，流的值定义为：|f| =Σ_v∈Vf(s, v)，即从源点 s 出发的总流。

最大流问题（Maximum-flow problem）中，给出源点 s 和汇点 t 的流网络 G，希望找出从 s 到 t 的最大值流。

满足流网络的性质的实际上定义了问题的限制：

经过边的流不能超过边的容量；
除了源点 s 和汇点 t，对于其它所有顶点，流入量与流出量要相等；

上面的图中描述的流网络可简化为下图，其中源点 s = 0，汇点 t = 5。

上图的最大流为 23，流向如下图所示。

Ford-Fulkerson 算法是一种解决最大流的方法，其依赖于三种重要思想：

残留网络（Residual networks）
增广路径（Augmenting paths）
割（Cut）

这些思想是最大流最小割定理的精髓，该定理用流网络的割来描述最大流的值。

最大流最小割定理

如果 f 是具有源点 s 和汇点 t 的流网络 G = (V, E) 中的一个流，则下列条件是等价的：

f 是 G 的一个最大流。

残留网络 G_f 不包含增广路径。

对 G 的某个割 (S, T)，有 |f| = c(S, T)。

Ford-Fulkerson 算法是一种迭代方法。开始时，对所有 u, v ∈ V 有 f(u, v) = 0，即初始状态时流的值为 0。在每次迭代中，可通过寻找一条增广路径来增加流值。增广路径可以看做是从源点 s 到汇点 t 之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出为止。最大流最小割定理将说明在算法终止时，这一过程可产生出最大流。

 FORD-FULKERSON-METHOD(G, s, t)

   initialize flow f to

   while there exists an augmenting path p

     do augment flow f along p

   return f

上述伪码实现的时间复杂度为 O(max_flow * E)。

C# 代码实现如下：

 using System;

 using System.Collections.Generic;

 using System.Linq;

 namespace GraphAlgorithmTesting

 {

   class Program

   {

     static void Main(string[] args)

     {

       Graph g = new Graph();

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       g.AddEdge(, , );

       Console.WriteLine();

       Console.WriteLine("Graph Vertex Count : {0}", g.VertexCount);

       Console.WriteLine("Graph Edge Count : {0}", g.EdgeCount);

       Console.WriteLine();

       int maxFlow = g.FordFulkerson(, );

       Console.WriteLine("The Max Flow is : {0}", maxFlow);

       Console.ReadKey();

     }

     class Edge

     {

       public Edge(int begin, int end, int weight)

       {

         this.Begin = begin;

         this.End = end;

         this.Weight = weight;

       }

       public int Begin { get; private set; }

       public int End { get; private set; }

       public int Weight { get; private set; }

       public override string ToString()

       {

         return string.Format(

           "Begin[{0}], End[{1}], Weight[{2}]",

           Begin, End, Weight);

       }

     }

     class Graph

     {

       private Dictionary<int, List<Edge>> _adjacentEdges

         = new Dictionary<int, List<Edge>>();

       public Graph(int vertexCount)

       {

         this.VertexCount = vertexCount;

       }

       public int VertexCount { get; private set; }

       public IEnumerable<int> Vertices

       {

         get

         {

           return _adjacentEdges.Keys;

         }

       }

       public IEnumerable<Edge> Edges

       {

         get

         {

           return _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e);

         }

       }

       public int EdgeCount

       {

         get

         {

           return this.Edges.Count();

         }

       }

       public void AddEdge(int begin, int end, int weight)

       {

         if (!_adjacentEdges.ContainsKey(begin))

         {

           var edges = new List<Edge>();

           _adjacentEdges.Add(begin, edges);

         }

         _adjacentEdges[begin].Add(new Edge(begin, end, weight));

       }

       public int FordFulkerson(int s, int t)

       {

         int u, v;

         // Create a residual graph and fill the residual graph with

         // given capacities in the original graph as residual capacities

         // in residual graph

         int[,] residual = new int[VertexCount, VertexCount];

         // Residual graph where rGraph[i,j] indicates

         // residual capacity of edge from i to j (if there

         // is an edge. If rGraph[i,j] is 0, then there is not)

         for (u = ; u < VertexCount; u++)

           for (v = ; v < VertexCount; v++)

             residual[u, v] = ;

         foreach (var edge in this.Edges)

         {

           residual[edge.Begin, edge.End] = edge.Weight;

         }

         // This array is filled by BFS and to store path

         int[] parent = new int[VertexCount];

         // There is no flow initially

         int maxFlow = ;

         // Augment the flow while there is path from source to sink

         while (BFS(residual, s, t, parent))

         {

           // Find minimum residual capacity of the edhes along the

           // path filled by BFS. Or we can say find the maximum flow

           // through the path found.

           int pathFlow = int.MaxValue;

           for (v = t; v != s; v = parent[v])

           {

             u = parent[v];

             pathFlow = pathFlow < residual[u, v]

               ? pathFlow : residual[u, v];

           }

           // update residual capacities of the edges and reverse edges

           // along the path

           for (v = t; v != s; v = parent[v])

           {

             u = parent[v];

             residual[u, v] -= pathFlow;

             residual[v, u] += pathFlow;

           }

           // Add path flow to overall flow

           maxFlow += pathFlow;

         }

         // Return the overall flow

         return maxFlow;

       }

       // Returns true if there is a path from source 's' to sink 't' in

       // residual graph. Also fills parent[] to store the path.

       private bool BFS(int[,] residual, int s, int t, int[] parent)

       {

         bool[] visited = new bool[VertexCount];

         for (int i = ; i < visited.Length; i++)

         {

           visited[i] = false;

         }

         Queue<int> q = new Queue<int>();

         visited[s] = true;

         q.Enqueue(s);

         parent[s] = -;

         // standard BFS loop

         while (q.Count > )

         {

           int u = q.Dequeue();

           for (int v = ; v < VertexCount; v++)

           {

             if (!visited[v]

               && residual[u, v] > )

             {

               q.Enqueue(v);

               visited[v] = true;

               parent[v] = u;

             }

           }

         }

         // If we reached sink in BFS starting from source,

         // then return true, else false

         return visited[t] == true;

       }

     }

   }

 }

运行结果如下：

参考资料

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