原根的存在性及个数证明(Primitive Root Theorem)

我在RSA学习总结的第三部分关于Mille-Rabin素数测试的正确性证明里需要用到此定理,由于证明太长,故另开一章于此。(为啥我说话突然文绉绉了Orz,可能是这周辩论打多了)

结论是对素数p,modulo p的原根存在,个数为与ø(p-1),modulo p2的原根个数为(p-1)ø(p-1)个

对奇素数p,modulo p^n的原根存在,个数为pn-2(p-1)ø(p-1) (n>=3)

首先证明对任意素数p,modulo p的原根存在

以下是证明思路(符号的意思在第二张图,完整证明里有)

原根的存在性及个数证明(Primitive Root Theorem)

原根的存在性及个数证明(Primitive Root Theorem)

原根的存在性及个数证明(Primitive Root Theorem)

知道了modulo p^2下Primitive root存在后可以推广至p^n

原根的存在性及个数证明(Primitive Root Theorem)

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