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0. 前言

简单记录损失函数，dice loss、focal loss
说明： 后续增补

1. 正文

1.1 基础概念

举个栗子：
用模型对100人进行身体健康状况预测，已知30人患肿瘤。规定肿瘤为阳性，正常为阴性。
预测结果：25人阳性，其中5人实际为阴性。则，
TP = 20,（True Positive,正确预测为阳性）
FP = 5，False Positive，错误预测为阳性）
FN=10, （False Negative，错误预测为阴性）
TN = 65，（True Negative，正确预测为阴性）

小结：
第二字母为预测结果（P或N，预测为阳性或阴性），第一个字母为对预测结果的判断（T或F，预测正确或错误）
第二字母为预测结果（P或N，预测为阳性或阴性），第一个字母为对预测结果的判断（T或F，预测正确或错误）
第二字母为预测结果（P或N，预测为阳性或阴性），第一个字母为对预测结果的判断（T或F，预测正确或错误）

混淆矩阵形式：

图示：

说明： 不管是肿瘤还是建筑物预测，我们一般将我们所关心的类别归为阳性，剩下的归为阴性。

1.2 正文

1.2.1 dice loss

dice loss 来自 dice coefficient（一种用于评估两个样本相似性的度量函数参考文献1）,取值范围0-1。
dice coefficient定义如下：

d i c e = 2 ∣ X ∩ Y ∣ ∣ X ∣ + ∣ Y ∣ dice = {2 |X \cap Y| \over |X| + |Y|} dice=∣X∣+∣Y∣2∣X∩Y∣​

dice loss 定义如下：
L d i c e = 1 − d i c e = 1 − 2 ∣ X ∩ Y ∣ ∣ X ∣ + ∣ Y ∣ L_{dice} = 1 - dice = 1 - {2 |X \cap Y| \over |X| + |Y|} Ldice​=1−dice=1−∣X∣+∣Y∣2∣X∩Y∣​
对于二分类问题，用混淆矩阵计算如下，
d i c e = 2 T P 2 T P + F P + F N dice = {2TP \over 2TP + FP + FN} dice=2TP+FP+FN2TP​
由参考文献1知，
精确率：
P r e c i s i o n = T P T P + F P Precision = {TP \over TP + FP} Precision=TP+FPTP​
召回率：
R e c a l l = T P T P + F N Recall = {TP \over TP + FN} Recall=TP+FNTP​
其中，F1：
F 1 = 2 ∗ P r e c i s i o n ∗ R e c a l l P r e c i s i o n + R e c a l l F1 = {2*Precision*Recall \over Precision + Recall} F1=Precision+Recall2∗Precision∗Recall​
又，
F 1 = 2 ∗ P r e c i s i o n ∗ R e c a l l P r e c i s i o n + R e c a l l = 2 T P 2 T P + F P + F N = d i c e F1 = {2*Precision*Recall \over Precision + Recall} = {2TP \over 2TP + FP + FN} = dice F1=Precision+Recall2∗Precision∗Recall​=2TP+FP+FN2TP​=dice
F1和我们的评价指标dice本质是一个意思，即，我们优化dice loss是直接优化F1

def dice_loss(target，predictive，ep=1e-8):
    intersection = 2 * torch.sum(predictive * target) + ep
    union = torch.sum(predictive) + torch.sum(target) + ep
    loss = 1 - intersection / union
    return loss

小结：
dice loss 对于正负样本不平衡问题有着不错的性能，训练过程侧重前景的挖掘。但训练loss容易不稳定，改进操作包括和其他loss结合，包括：
dice loss + ce loss
dice loss + focal loss
具体参考文献1

1.2.1 focal loss

1. 二分类交叉熵回顾

主要解决样本不平衡问题提出的。
我们首先回顾一下二分类交叉熵
l o s s = − 1 N [ p ∗ l o g q + ( 1 − p ) ∗ l o g ( 1 − q ) ] loss =-{1 \over N} [p*logq + (1-p)*log(1-q)] loss=−N1​[p∗logq+(1−p)∗log(1−q)]
其中，p为标签，q为预测。对于二分类，我们规定上述p为正样本，则，1-p代表负样本。如果我们对遥感影像进行建筑物提取，那么p代表建筑物（像素），q代表背景（像素）。则，上式又可改写为：

l o s s = { − l o g q , p = 1 − l o g ( 1 − q ) , p = 0 loss = \begin{cases} -logq, \quad \quad \quad p=1 \\ -log(1-q), \quad p=0 \end{cases} loss={−logq,p=1−log(1−q),p=0​
-log函数图如下，

我们对上式进行解释：
对一张遥感进行建筑物提取，简化图如下，
（我们规定，像素值为0代表背景，像素值为1代表建筑物）

我们分析左上角的像素点的计算过程，其中标签值为1，我们预测结果为0.45。那么我们代入公式
l 1 = − l o g ( 0.45 ) l1 = -log(0.45) l1=−log(0.45)
我们再分析右下角像素的计算过程，其中，右下角点为背景，所以我们的标签值为0，如下图所示，

代入公式
l 2 = − l o g ( 1 − 0.7 ) l2 = -log(1-0.7) l2=−log(1−0.7)
0.7位我们预测为建筑物的概率
更进一步关于数据验证部分，参考文献3
参考文献4

2. focal loss

对于上述二分类交叉熵而言，对正负样本是同等考虑的，
同时，由公式我们发现一个现象，
对于正样本（标签中正样本像素位置），输出概率概率越大，损失越小，
对于负样本（标签中负样本像素位置），输出概率越小，损失越小，
为了抑制样本不平衡问题（背景占比多），添加平衡因子 α \alpha α，论文中取值为0.25

l o s s = { − α × l o g q , p = 1 − ( 1 − α ) × l o g ( 1 − q ) , p = 0 loss = \begin{cases} -\alpha×logq ,\quad p=1 \\ -(1-\alpha) × log(1-q) ,\quad\quad\quad\quad p=0 \end{cases} loss={−α×logq,p=1−(1−α)×log(1−q),p=0​

为了 减少易分类样本的损失，更加关注困难的、错分样本，又添加了调制系数 γ \gamma γ，
l o s s = { − α × ( 1 − q ) γ × l o g q , p = 1 − α × q γ × l o g ( 1 − q ) , p = 0 loss = \begin{cases} -\alpha×(1-q)^\gamma ×logq ,\quad p=1 \\ -\alpha×q^\gamma × log(1-q) ,\quad\quad\quad\quad p=0 \end{cases} loss={−α×(1−q)γ×logq,p=1−α×qγ×log(1−q),p=0​

参考文献

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/269592183
[2] https://blog.csdn.net/qq_34107425/article/details/110119894
[3] https://blog.csdn.net/weixin_39190382/article/details/114922578
[4] https://blog.csdn.net/weixin_39190382/article/details/114681163
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/49981234
[6] https://www.cnblogs.com/king-lps/p/9497836.html
[7] https://www.aiuai.cn/aifarm1159.html