\(\bullet\) \(\texttt{二元组}\)

\(\texttt{Tag: cdq分治, dp}\)

首先有朴素的 \(O(n^2)\) 做法，记 \(dp(i,j)\) 为其中一个子序列末尾是 \(i\)，另一个子序列末尾是 \(j\) 的最小值，转移：

\[dp(i,j) + |a_{i+1} - a_i| + |b_{i+1} - b_i|\longrightarrow dp(i+1,j) \]

\[dp(i,j) + |a_{i+1} - a_j| + |b_{i+1} - b_j|\longrightarrow dp(i+1,i) \]

考场上想用线段树去维护，但是发现这个绝对值很烦，不会搞。

实际上，将 \(dp(i,j)\) 的值放进坐标 \((i,j)\) 中，可以发现，对于 \(dp(i,j)\) 和 \(dp(k,j)\)（\(i<k\)），第一类的转移可得 \(dp(k,j) = dp(i,j) + \sum\limits_{x=i}^{k-1} |a_{x+1} - a_x| + |b_{x+1} - b_x|\)，也就是说，如果能知道 \(dp(i+1,i)\)，就能知道所有的 \(dp(k,i)\)。

于是可以改一下 \(dp\)，记 \(f(i)\) 表示原先的 \(dp(i+1,i)\)，转移是个偏序，可以用 \(cdq + bit\) 去实现，时间复杂度 \(O(n \log ^2 n)\)。