《Deep Learning》（Ian Goodfellow & Yoshua Bengio & Aaron Courville）第四章「数值计算」中，谈到了上溢出（overflow）和下溢出（underflow）对数值计算的影响，并以softmax函数和log softmax函数为例进行了讲解。这里我再详细地把它总结一下。

『1』什么是下溢出（underflow）和上溢出（overflow）

　　实数在计算机内用二进制表示，所以不是一个精确值，当数值过小的时候，被四舍五入为0，这就是下溢出。此时如果对这个数再做某些运算（例如除以它）就会出问题。反之，当数值过大的时候，情况就变成了上溢出。

『2』softmax函数是什么

softmax函数如下：

从公式上看含义不是特别清晰，所以借用知乎上的一幅图来说明（感谢原作者）：

这幅图极其清晰地表明了softmax函数是什么，一图胜千言。

『3』计算softmax函数值的问题

　　通常情况下，计算softmax函数值不会出现什么问题，例如，当softmax函数表达式里的所有 xi 都是一个“一般大小”的数值 c 时——也就是上图中， z₁=z₂=z₃=c  时，那么，计算出来的函数值y₁=y₂=y₃=1/3 。
但是，当某些情况发生时，计算函数值就出问题了：

• c 极其大，导致分子计算 e^c 时上溢出
• c 为负数，且  |c| 很大，此时分母是一个极小的正数，有可能四舍五入为0，导致下溢出

『4』如何解决

所以怎样规避这些问题呢？我们可以用同一个方法一口气解决俩：
令  M=max(x_i),i=1,2,⋯,n ，即 M 为所有 x_i 中最大的值，那么我们只需要把计算 f(x_i)的值，改为计算  f(x_i−M) 的值，就可以解决上溢出、下溢出的问题了，并且，计算结果理论上仍然和 f(x_i)保持一致。
举个实例：还是以前面的图为例，本来我们计算  f(z₂) ，是用“常规”方法来算的：

现在我们改成：

其中， M=3 是  z₁,z₂,z₃ 中的最大值。可见计算结果并未改变。这是怎么做到的呢？通过简单的代数运算就可以参透其中的“秘密”：

　　通过这样的变换，对任何一个 x_i，减去M之后，e 的指数的最大值为0，所以不会发生上溢出；同时，分母中也至少会包含一个值为1的项，所以分母也不会下溢出（四舍五入为0）。所以这个技巧没什么高级的技术含量。

『5』延伸问题

　　看似已经结案了，但仍然有一个问题：如果softmax函数中的分子发生下溢出，也就是前面所说的 c 为负数，且 |c| 很大，此时分母是一个极小的正数，有可能四舍五入为0的情况，此时，如果我们把softmax函数的计算结果再拿去计算 log，即 log softmax，其实就相当于计算  log(0) ，所以会得到 −∞ ，但这实际上是错误的，因为它是由舍入误差造成的计算错误。所以，有没有一个方法，可以把这个问题也解决掉呢？
　　答案还是采用和前面类似的策略来计算 log softmax 函数值：

　　大家看到，在最后的表达式中，会产生下溢出的因素已经被消除掉了——求和项中，至少有一项的值为1，这使得log后面的值不会下溢出，也就不会发生计算 log(0) 的悲剧。在很多数值计算的library中，都采用了此类方法来保持数值稳定。