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传染病模型
放一个链接:[关于传染病][ https://www.zhihu.com/question/367466399 ]
传染病初期
特点:
没有考虑接触到的人中还有一部分病人,所以并不会全部被感染
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已感染人数(病人)
i(t),i(0)=i0(1)
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每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
λ(2)
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根据(1)(2)可以建立模型:
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt其中Δt为时间段(3)
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等式两边同时除以\Delta t
Δti(t+Δt)−i(t)=λi(t)(4)
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由导数定义有
i′(t)=dtdi=limt→ΔtΔti(t+Δt)−i(t)
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同时,取\Delta t = 1天
dtdi=λi(5)
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由(1)(5)两式可得最终的模型:
i(t)=i0eλt(6)
logistic模型
特点:
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),但没有考虑病人可以治愈。
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假设有
总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1)
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每个病人每天有效接触人数为
λ(2)
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建模得到
N[i(t+Δt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3)
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两边同时除\Delta t可以得到
dtdi=limt→ΔtΔti(t+Δt)−i(t)=kλs(t)i(t)(4)
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由(1)(4)式可得
{dtdi=λi(1−i)i(0)=i0
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最终得到模型(logistic模型)
i(t)=a+(i01−1)e(−λt)1
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传染病高潮到来的时刻t_m
tm=λ−1ln(i01−1)
SIS模型
特点:
病人治愈为健康人,但可再次被感染。
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假设有
总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1病人每天治愈的比例为:μ(1)
特殊定义,接触数\sigma:一个感染期内每个病人的有效接触人数。
接触数:σ=μλ
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建模得到
N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2)
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化简
N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt
i(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt
Δti(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)−μi(t)
dtdi=λs(t)i(t)−μi(t)
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最终得到
{dtdi=λi(t)(1−i(t))−μi(t)i(0)=i0
SIR模型
特点:
传染病有免疫性,病人治愈后即移出感染系统,称为移出者
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假设
总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ=μλ(1)
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存在初始条件
s(t)+r(t)+i(t)=1i0+s0=1(2)
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建立模型
{N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtN[s(t+Δt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt(3)
第一个方程:病人在\Delta t时间段的增加数=\Delta t时间段被感染人数-\Delta t时间段治愈的病人数(移出者数)。
第二个方程:健康人在\Delta t时间段的增加数= - \Delta t时间段被感染人数(新治好的变成了移出者)。
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最终得到得到
⎩⎪⎨⎪⎧dtdi=λsi−μidtds=−λsii(0)=i0,s(0)=s0
还可以添加隔离等变量。
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