【数学建模】备战美赛之传染病模型

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传染病模型

放一个链接:[关于传染病][ https://www.zhihu.com/question/367466399 ]

传染病初期

特点:

没有考虑接触到的人中还有一部分病人,所以并不会全部被感染

  1. 已感染人数(病人)
    i(t),i(0)=i0(1) i(t), i(0)=i_0\tag1 i(t),i(0)=i0​(1)

  2. 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
    λ(2) \lambda\tag2 λ(2)

  3. 根据(1)(2)可以建立模型:
    i(t+Δt)i(t)=λi(t)ΔtΔt(3) i(t+\Delta t)-i(t)=\lambda i(t)\Delta t\tag3\\ 其中\Delta t为时间段 i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt其中Δt为时间段(3)

  4. 等式两边同时除以\Delta t
    i(t+Δt)i(t)Δt=λi(t)(4) \frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=\lambda i(t)\tag4 Δti(t+Δt)−i(t)​=λi(t)(4)

  5. 由导数定义有
    i(t)=didt=limtΔti(t+Δt)i(t)Δt i'(t)=\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t} i′(t)=dtdi​=limt→Δt​Δti(t+Δt)−i(t)​

  6. 同时,取\Delta t = 1天
    didt=λi(5) \frac{di}{dt}=\lambda i\tag{5} dtdi​=λi(5)

  7. 由(1)(5)两式可得最终的模型:
    i(t)=i0eλt(6) i(t)=i_0e^{\lambda t}\tag6 i(t)=i0​eλt(6)

logistic模型

特点:

区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),但没有考虑病人可以治愈。

  1. 假设有
    :N:i(t):s(t):k:s(t)+i(t)=1(1) 总人数:N\\ 病人比例:i(t)\\ 健康人比例:s(t)\\ 被传染概率为:k\\ 存在初始条件:s(t)+i(t)=1 \tag1 总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1)

  2. 每个病人每天有效接触人数为
    λ(2) \lambda \tag2 λ(2)

  3. 建模得到
    N[i(t+Δt)i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3) N[i(t+\Delta t)-i(t)]=k[\lambda s(t)]Ni(t)\Delta t\tag3 N[i(t+Δt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3)

  4. 两边同时除\Delta t可以得到
    didt=limtΔti(t+Δt)i(t)Δt=kλs(t)i(t)(4) \frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=k\lambda s(t)i(t)\tag4 dtdi​=limt→Δt​Δti(t+Δt)−i(t)​=kλs(t)i(t)(4)

  5. 由(1)(4)式可得
    {didt=λi(1i)i(0)=i0 \begin{cases} \frac{di}{dt}=\lambda i(1-i) \\i(0)=i_0 \end{cases} {dtdi​=λi(1−i)i(0)=i0​​

  6. 最终得到模型(logistic模型)
    i(t)=1a+(1i01)e(λt) i(t)=\frac{1}{a+(\frac{1}{i_0}-1)e^{(-\lambda t)}} i(t)=a+(i0​1​−1)e(−λt)1​

  7. 传染病高潮到来的时刻t_m
    tm=λ1ln(1i01) t_m=\lambda^{-1}ln(\frac{1}{i_0}-1) tm​=λ−1ln(i0​1​−1)

SIS模型

特点:

病人治愈为健康人,但可再次被感染。

  1. 假设有
    :N:i(t):s(t):k:s(t)+i(t)=1:μ(1) 总人数:N\\ 病人比例:i(t)\\ 健康人比例:s(t)\\ 被传染概率为:k\\ 存在初始条件:s(t)+i(t)=1\\ 病人每天治愈的比例为:\mu \tag1 总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1病人每天治愈的比例为:μ(1)
    特殊定义,接触数\sigma:一个感染期内每个病人的有效接触人数。
    :σ=λμ 接触数:\sigma = \frac{\lambda}{\mu} 接触数:σ=μλ​

  2. 建模得到
    N[i(t+Δt)i(t)]=λNs(t)i(t)ΔtμNi(t)Δt(2) N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \tag2 N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2)

  3. 化简
    N[i(t+Δt)i(t)]=λNs(t)i(t)ΔtμNi(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt
    i(t+Δt)i(t)=λs(t)i(t)Δtμi(t)Δt \\i(t+\Delta t)-i(t) =\lambda s(t)i(t)\Delta t-\mu i(t)\Delta t i(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt
    i(t+Δt)i(t)Δt=λs(t)i(t)μi(t) \\\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t} = \lambda s(t)i(t)-\mu i(t) Δti(t+Δt)−i(t)​=λs(t)i(t)−μi(t)
    didt=λs(t)i(t)μi(t) \\\frac{di}{dt}= \lambda s(t)i(t)-\mu i(t) dtdi​=λs(t)i(t)−μi(t)

  4. 最终得到
    {didt=λi(t)(1i(t))μi(t)i(0)=i0 \begin{cases} \frac{di}{dt}= \lambda i(t)(1-i(t))-\mu i(t) \\ i(0)=i_0 \end{cases} {dtdi​=λi(t)(1−i(t))−μi(t)i(0)=i0​​

SIR模型

特点:

传染病有免疫性,病人治愈后即移出感染系统,称为移出者

  1. 假设
    :N,:i(t),:s(t),:r(t),:λ,:μ,:σ=λμ(1) 总人数:N, 病人比例:i(t), 健康人比例:s(t), 移出者比例:r(t), \\病人日接触率:\lambda,日治愈率:\mu,接触数:\sigma=\frac{\lambda}{\mu} \tag1 总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ=μλ​(1)

  2. 存在初始条件
    s(t)+r(t)+i(t)=1i0+s0=1(2) s(t)+r(t)+i(t)=1 \\i_0+s_0=1 \tag2 s(t)+r(t)+i(t)=1i0​+s0​=1(2)

  3. 建立模型
    {N[i(t+Δt)i(t)]=λNs(t)i(t)ΔtμNi(t)ΔtN[s(t+Δt)s(t)]=λNs(t)i(t)Δt(3) \begin{cases} N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \\N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t \end{cases} \tag3 {N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtN[s(t+Δt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt​(3)

    第一个方程:病人在\Delta t时间段的增加数=\Delta t时间段被感染人数-\Delta t时间段治愈的病人数(移出者数)。
    第二个方程:健康人在\Delta t时间段的增加数= - \Delta t时间段被感染人数(新治好的变成了移出者)。

  4. 最终得到得到
    {didt=λsiμidsdt=λsii(0)=i0,s(0)=s0 \begin{cases} \frac{di}{dt}=\lambda si-\mu i \\\frac{ds}{dt}=-\lambda si \\i(0)=i_0,s(0)=s_0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​dtdi​=λsi−μidtds​=−λsii(0)=i0​,s(0)=s0​​

还可以添加隔离等变量。


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