BZOJ 5281--[Usaco2018 Open]Talent Show（分数规划&单调队列&DP）

2022-10-27 11:15:58

5281: [Usaco2018 Open]Talent Show

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Description

FarmerJohn要带着他的N头奶牛，方便起见编号为1…N，到农业展览会上去，参加每年的达牛秀！他的第i头奶牛重量为wi，才艺水平为ti，两者都是整数。在到达时，FarmerJohn就被今年达牛秀的新规则吓到了：

（一）参加比赛的一组奶牛必须总重量至少为W

（这是为了确保是强大的队伍在比赛，而不仅是强大的某头奶牛），并且

（二）总才艺值与总重量的比值最大的一组获得胜利。

FJ注意到他的所有奶牛的总重量不小于W，所以他能够派出符合规则（一）的队伍。帮助他确定这样的队伍中能够达到的最佳的才艺与重量的比值。

Input

输入的第一行包含N和W。下面N行，每行用两个整数wi和ti描述了一头奶牛。

1≤N≤250

1≤W≤1000

1≤wi≤10^6

1≤ti≤10^3

Output

请求出Farmer用一组总重量最少为W的奶牛最大可能达到的总才艺值与总重量的比值。

如果你的答案是A，输出1000A向下取整的值，以使得输出是整数

（当问题中的数不是一个整数的时候，向下取整操作在向下舍入到整数的时候去除所有小数部分）。

Sample Input

3 15
20 21
10 11
30 31

Sample Output

1066
在这个例子中，总体来看最佳的才艺与重量的比值应该是仅用一头才艺值为11、重量为10的奶牛，但是由于我们需
要至少15单位的重量，最优解最终为使用这头奶牛加上才艺值为21、重量为20的奶牛。这样的话才艺与重量的比值
为(11+21)/(10+20)=32/30=1.0666666...，乘以1000向下取整之后得到1066。

题目链接：

　　　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5281

Solution

　　一看题面就知道要01分数规划。。。

　　假设答案为c，式子比较显然 ti的总和 / wi的总和 >= c

　　ti的总和 >= wi的总和 * c

　　然后就是二分c验证正确性。。

　　将每只牛的价值赋值为 ti - wi * c

　　显然如果有一种方案使得总的牛的价值不小于0，就说明c存在合法方案。。

　　由于W<=1000，我们可以直接DP。。

　　f [ i ] 表示wi总和不小于i时的最大价值总和。。

　　f [ i ] = max(f[j]+val)其中val表示当前牛的价值，并且i-j<=w

　　由于i和j的关系，要用单调队列维护。。

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<queue>

#include<vector>

#include<map>

#include<cmath>

#include<set>

#define pa pair<LL,LL>

#define LL long long

#define ept 1e-5

using namespace std;

inline int read(){

    int x=0,f=1;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*f;

}

inline void Out(int a){

    if(a>9) Out(a/10);

    putchar(a%10+'0');

}

const double inf=1e9;

const LL mod=1e9+7;

const int N=300;

int n,m,cnt=1,W;

struct cow{

	int w,s;

}a[N];

double f[2000],t[2000];

int q[2000];

int main(){

    n=read();W=read();

	for(int i=1;i<=n;++i){

		a[i].w=read();a[i].s=read();

	}

	double l=0,r=10000,mid,y;

	int x,L=1,R=0;

	while(fabs(r-l)>ept){

		//cout<<l<<" "<<r<<endl;

		mid=(l+r)/2;

		for(int i=0;i<=W;++i) f[i]=-inf;

		f[0]=0;

		for(int i=1;i<=n;++i){

			x=a[i].w<=W?a[i].w:W;

			y=(double)a[i].s-(double)mid*(double)a[i].w;

			L=1;R=1;q[1]=0;

			for(int j=1;j<=W;++j){

				while(L<=R&&f[j]>f[q[R]]) --R;

				q[++R]=j;

				while(j-q[L]>x) ++L;

				t[j]=f[q[L]]+y;

			}

			for(int j=1;j<=W;++j)

				if(t[j]>f[j]) f[j]=t[j];

		}

		if(f[W]>=0) l=mid;

		else r=mid;

	}

	l=l*1000;

	int ans=l;

	printf("%d\n",ans);

	return 0;

}

This passage is made by Iscream-2001.

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