左边 \(L\) 右边 \(R\) 张牌:
左边从上往下第 \(x\) 张牌对第 \(i\) 个位置的贡献
其实都可以打表观察 233
\[\sum_{x}\binom{i-1}{x-1}\binom{n-i}{L-x}w_x \]\(w_x = x :\)
\[\sum_{x}\binom{i-1}{x-1}\binom{n-i}{L-x} x \] \[\sum_{x}(\binom{i}{x}x - \binom{i-1}{x}x)\binom{n-i}{L-x} \] \[\sum_{x}(\binom{i-1}{x-1}i - \binom{i-2}{x-1}(i-1))\binom{n-i}{L-x} \] \[i\times(\binom{n-1}{L-1} - \binom{n-2}{L-1}) + \binom{n-2}{L-1} \]\(w_x = x^2 :\)
\[\sum_{x}\binom{i-1}{x-1}\binom{n-i}{L-x} x^2 \] \[\sum_{x}(\binom{i-1}{x-1}i - \binom{i-2}{x-1}(i-1))\binom{n-i}{L-x}x \]考虑化简一下 \(\sum_{x}(\binom{i-1}{x-1}i(x-1) - \binom{i-2}{x-1}(i-1)(x-1))\binom{n-i}{L-x}\)
\[\sum_{x}(\binom{i-2}{x-2}i(i-1) - \binom{i-3}{x-2}(i-1)(i-2))\binom{n-i}{L-x} \]一样可以范德蒙德卷积的化简处理。右边其实也差不多?
这样就证明了 一次函数变换后是一次函数,二次函数变换后是二次函数。