Description

给定平面上 $n$ 个圆，这些圆之间只有包含和分离两种关系(不存在相切的情况)。 定义两个圆之间的距离是从圆 $A$ 到圆 $B$ 经过的圆弧的最小个数，但是不包括 圆 $A$ 和圆 $B$ 的圆弧。两个圆之间的路径不一定只是走直线，还可以存在绕弯 的情况。 对于上述情况，从绿色圆到橙色圆的距离是 $0$，而从红色圆到橙色圆的距离是 $1$。 给出 $q$ 个询问，每个询问的格式形如 $u,v$，对于每个询问，都需要回答第 $u$ 个 圆到第 $v$ 个圆之间的最短距离。

Solution

题中给出数个不相交或相切的圆，问从一个圆到另一个圆最少走过几个圆

可以想到圆的包含和相离可以视为树上的结构：圆A包含圆B就是A是B的父节点，圆A与圆B相离就是A，B为兄弟节点，那么两圆之间距离就可以用
LCA求出

用扫描线维护每个圆的左端点和右端点，当扫到一个入点时判断它上方的圆弧，如果是下半弧则与该圆相离，如果是上半弧则被该圆包含，那么就可以把深度和父节点更新

最后倍增求LCA，要分LCA是否与两个圆重合两类讨论答案（果然不能一概而论）

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
int n,q,X[100005],Y[100005],R[100005],tot,nowx,dep[100005],fa[100005],f[100005][20];
struct Eve
{
    double x;
    int id,typ;
    bool operator < (const Eve &z)const
    {
        return x<z.x;
    }
}eve[200005];
vector<int>ve[100005];
struct Node
{
    int id,typ;
    double loc()const
    {
        double temp=sqrt(1.0*R[this->id]*R[this->id]-1.0*(X[this->id]-nowx)*(X[this->id]-nowx)+1e-8);
        return (this->typ==1)?Y[this->id]-temp:Y[this->id]+temp;
    }
};
bool operator < (Node y,Node z)
{
    return y.loc()<z.loc();
}
set<Node>s;
inline int read()
{
    int f=1,w=0;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return f*w;
}
void dfs(int k)
{
    f[k][0]=fa[k];
    for(int i=1;i<=19;i++) f[k][i]=f[f[k][i-1]][i-1];
    for(int v:ve[k]) dfs(v);
}
int lca(int u,int v)
{
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    for(int i=19;~i;i--) if(dep[f[u][i]]>=dep[v]) u=f[u][i];
    if(u==v) return u;
    for(int i=19;~i;i--) if(f[u][i]!=f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];
    return f[u][0];
}
int dis(int u,int v)
{
    if(u==v) return 0;
    int d=lca(u,v);
    return (u!=d&&v!=d)?dep[u]+dep[v]-2*dep[d]-2:dep[u]+dep[v]-2*dep[d]-1;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) X[i]=read(),Y[i]=read(),R[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) eve[++tot]=(Eve){X[i]-R[i]+1e-8,i,1},eve[++tot]=(Eve){X[i]+R[i]-1e-8,i,-1};
    sort(eve+1,eve+tot+1);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        nowx=eve[i].x;
        if(eve[i].typ==-1) s.erase((Node){eve[i].id,1}),s.erase((Node){eve[i].id,2});
        else
        {
            auto temp=s.upper_bound((Node){eve[i].id,1});
            if(temp==s.end()) dep[eve[i].id]=1;
            else
            {
                Node a=*temp;
                if(a.typ==1) dep[eve[i].id]=dep[a.id],fa[eve[i].id]=fa[a.id];
                else dep[eve[i].id]=dep[a.id]+1,fa[eve[i].id]=a.id;
            }
            s.insert((Node){eve[i].id,1}),s.insert((Node){eve[i].id,2});
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ve[fa[i]].push_back(i);
    dfs(0);
    q=read();
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        printf("%d\n",dis(u,v));
    }
    return 0;
}

圆与圆之间的距离是不能一概而论的