题目

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/1473/E
一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，定义一条路径长度为其边权之和减去边权最大值再加上边权最小值。求 \(1\) 到所有点的最短路。
\(n,m\leq 2\times 10^5\)。

思路

等价于最大边权不用计算，最小边权乘二的最短路。
容易发现，我们其实不用强制最大值或者最小值，如果我们能保证最终路径中只有一条不被计算，一条长度乘二，那么一定会选到最大值和最小值才会最优。
所以直接上分层图最短路即可。分为三层，第一层到第二层连边权为 \(0\) 的边，第二层到第三层连边权两倍的边。正反都要跑一遍。
注意如果有 \(1\to i\) 的边，那么需要特判一下 \(i\) 的最短路可以是这条边的边长。
时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=600010,M=2000010;
int n,m,tot,head[N],U[N],V[N],D[N];
ll dis[N],ans[N];
bool vis[N];

struct edge
{
	int next,to,dis;
}e[M];

void add(int from,int to,int dis)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to,dis};
	head[from]=tot;
}

void dij(int S)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	priority_queue<pair<ll,int> > q;
	q.push(mp(0,S)); dis[S]=0;
	while (q.size())
	{
		int u=q.top().second; q.pop();
		if (vis[u]) continue;
		vis[u]=1;
		for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if (dis[v]>dis[u]+e[i].dis)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
				q.push(mp(-dis[v],v));
			}
		}
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	memset(ans,0x3f3f3f3f,sizeof(ans));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&U[i],&V[i],&D[i]);
		int x=U[i],y=V[i],z=D[i];
		add(x,y,z); add(y,x,z);
		add(x+n,y+n,z); add(y+n,x+n,z);
		add(x+n*2,y+n*2,z); add(y+n*2,x+n*2,z);
		add(x,y+n,0); add(y,x+n,0);
		add(x+n,y+n*2,z*2); add(y+n,x+n*2,z*2);
		if (x==1) ans[y]=min(ans[y],1LL*z);
		if (y==1) ans[x]=min(ans[x],1LL*z);
	}
	dij(1);
	for (int i=2;i<=n;i++)
		ans[i]=min(ans[i],dis[n*2+i]);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	tot=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=U[i],y=V[i],z=D[i];
		add(x,y,z); add(y,x,z);
		add(x+n,y+n,z); add(y+n,x+n,z);
		add(x+n*2,y+n*2,z); add(y+n*2,x+n*2,z);
		add(x,y+n,z*2); add(y,x+n,z*2);
		add(x+n,y+2*n,0); add(y+n,x+n*2,0);
	}
	dij(1);
	for (int i=2;i<=n;i++)
		printf("%lld ",min(ans[i],dis[n*2+i]));
	return 0;
}